Материал: Демина Тселые и мероморфные функтсии 2015

3. Мероморфные функции

π2

Решение. Прежде всего заметим, что функцию f(z) = cos2(πz)

можно представить следующим образом: f(z) = {π tg(πz)}z. Воспользуемся разложением мероморфной функции ctg z на простейшией дроби (см. пример 3.3). Справедливо равенство

и дифференцируя полученный равномерно сходящийся ряд с учетом равенства f(z) = {π tg(πz)}z, найдем

Для удобства разобьем выражение, стоящее под знаком суммы в соотношении (3.30), на два слагаемых:

36

3. Мероморфные функции

Следовательно, уравнения (3.34) и (3.35) не имеют решений при A1 = −i и A2 = i соответственно. Таким образом, мероморфная функция f(z) = ctg z имеет максимально возможное количество исключительных значений. Для любого комплексного числа A за исключением ±i уравнение ctg z = A имеет бесконечно много решений.

Задача 3.5. Выяснить, какое количество конечных исключительных значений имеет мероморфная функция f(z) = 2 th2 z − 4 th z + 1, и найти эти значения, если они есть.

Решение. Сначала найдем исключительные значения мероморфной функции th z. Рассматривая уравнение th z = A, получаем

37

3. Мероморфные функции

Решая это уравнение относительно e2z, приходим к равенствам

В силу того что целая функция e2z имеет лишь одно конечное исключительное значение z = 0, мы можем заключить, что мероморфная функция th z обладает двумя исключительными значениями A1 = 1, A2 = −1. Подставляя th z = A1 и th z = = A2 в соотношение f(z) = 2 th2 z − 4 th z + 1, видим что подозрительными на исключительные значения для функции f(z) будут: B1 = −1, B2 = 7. Далее рассмотрим выражения

Отсюда заключаем, что мероморфная функция f(z) не принимает значение B1 = −1 ни в одной точке комплексной

квадратное относительно th z, убеждаемся что исключительных значений отличных от B1 = −1 мероморфная функция f(z) не имеет. Действительно, функция th z принимает любые конечные значения (за исключением A1 = 1, A2 = −1) в бесконечном множестве точек. Значит для любых решений квадратного уравнения 2 th2 z − 4 th z + 1 = B (отличных от th z = 1, th z = = −1) мы сможем найти и бесконечно много решений уравнения th z = A.

Таким образом, мероморфная функция f(z) имеет единственное конечное исключительное значение B1 = −1.

38

3. Мероморфные функции

1

Задача 3.6. Разложить мероморфную функцию f(z) = ez − 1

на простейшие дроби.

Ответ:

k=1

Задача 3.7. Разложить мероморфную функцию f(z) = ch1z на простейшие дроби.

Ответ:

Задача 3.9. Построить меромофную функцию, имеющую два исключительных значения a и b, где a, b C, a ≠ b.

Ответ: мероморфной функцией с исключительными

39

4.Суммирование некоторых рядов

4.Суммирование некоторых рядов

Мероморфные функции f1(z) = ctg(πz), f2(z) = cosec(πz), f3(z) = tg(πz), f4(z) = sec(πz) могут быть использованы при вычислении сумм некоторых рядов. Вышеперечисленные функции имеют счетное множество простых полюсов в точках данных последовательностей:

Справедлива теорема.

Теорема 4.1. Пусть мероморфная функция F (z) имеет конечное число полюсов {a1, a2, . . . , aN }, среди которых нет точек из последовательности Zj. Пусть, кроме того, существует последовательность замкнутых положительно ориентированных жордановых кривых {γm, m N}, окружающих начало координат и не проходящих через полюсы f(z) и точки последовательности Zj, которая удовлетворяет условиям (1 − 3) теоремы 3.3, а также соотношению

40