Материал: Д6903 Алексеев ГВ Системный подход в пищевой инженерии

Решив пару двойственных задач, далее определим:

к задаче ЛП.

Пример 3. Два сельскохозяйственных предприятия А и В выделяют денежные средства на строительство трех объектов. С учетом особенностей вкладов и местных условий прибыль предприятия А в зависимости от объема финансирования выражается элементами

предприятия А. Требуется найти оптимальные стратегии предприятий А и В.

Обозначим чистые стратегии предприятий А и В через А1, А2, А3 и B1, B2, B3 соответственно. Предположим, что предприятие А располагает общей суммой а тыс. ден. ед., отпускаемой на строительство трех объектов. Аналогично и предприятие В имеет сумму в b тыс. ден. ед., отпускаемую на строительство тех же трех объектов. Тогда чистая стратегия А1 – это выделение a1 тыс. ден. ед. предприятием А на строительство первого объекта; A2 – чистая стратегия предприятия А, которое выделяет сумму a2 тыс. ден. ед. на строительство второго объекта; А3 – чистая стратегия предприятия А, которое выделяет сумму a3 тысяч денежных единиц на строительство третьего объекта. Общая сумма средств, выделяемых на строительство трех объектов, a=a1+a2+а3. Аналогично определяются чистые

21

р* = (2/5; 0; 3/5) и q* = (1/5; 4/5; 0) соответственно при гарантированном получении предприятием А независимо от стратегий предприятия В прибыли не менее 27/5 = 5,4 тысяч денежных единиц. Убыток предприятия В при этом составит не более 5,4 тысяч денежных единиц.

Итак, из общей суммы средств а тысяч денежных единиц, выделяемых предприятием А на строительство трех объектов, на долю первого объекта должно выделяться 40 %, второго – 0 % и третьего – 60 % этой суммы. Аналогично распределяются средства b тысяч денежных единиц предприятием В: на долю первого объекта приходится 20 %, второго – 80 % и третьего – 0 % общей суммы.

1.4. Решение задач теории игр с помощью MathCAD

Пример 1. Рассмотрим следующую игру 2 4:

Решение задачи с помощью MathCAD приведено на рис. 5. Вначале определены верхняя и нижняя цены игры: = 3, = 2. Затем вычисляется ожидаемый выигрыш игрока А, соответствующий каждой чистой стратегии игрока В, в виде W1, W2, W3 и W4. На рисунке 5 изображены четыре прямые линии, соответствующие чистым стратегиям игрока В. Чтобы определить наилучший результат из наихудших, построена нижняя огибающая трех указанных прямых, которая представляет минимальный (наихудший) выигрыш для игрока А независимо от того, что делает игрок В. Максимум нижней

огибающей соответствует максиминному решению в точке p =2/5.

Это значение pопределяется из уравнения 2+р=4-4р, отвечающего

пересечению прямых 3 и 4. Следовательно, оптимальным решением для игрока A является смешивание стратегий A1 и A2 с вероятностями 2/5 и 3/5 соответственно. Цена игры v определяется подстановкой

24

Оптимальная смешанная стратегия игрока В определяется двумя стратегиями, которые определяют нижнюю огибающую графика. Это значит, что игрок В может смешивать стратегии B3 и В4,

в этом случае q1=q2=0 и q3=q, q4=1-q3=1-q.

Следовательно, ожидаемые платежи игрока В, соответствующие чистым стратегиям игрока А, имеют следующий вид (табл. 9).

Таблица 9

Наилучшее решение из наихудших для игрока В представ-

ляет собой точку минимума верхней огибающей заданных двух прямых.

Эта процедура эквивалентна решению уравнения 3q = 4-2q. Его решением будет q = 4/5, что определяет цену игры v = 3 (4/5) = 12/5.

Таким образом, решением игры для игрока А является смешивание стратегий A1 и А2 с вероятностями 2/5 и 3/5, а для игрока В – смешивание стратегий В3 и В4 с вероятностями 4/5 и 1/5:

v = 12/5;

р* = (2/5; 3/5);

q* = (0; 0; 4/5; 1/5).

25