Материал: Д6903 Алексеев ГВ Системный подход в пищевой инженерии

Рис. 2. Графическое решение игры (пример 1)

Таблица 5

Цена игры v определяется подстановкой p = 0,5 в уравнение либо прямой 2, либо 3, что приводит к следующему:

Оптимальная смешанная стратегия игрока В определяется двумя стратегиями, которые определяют нижнюю огибающую графика. Это значит, что игрок В может смешивать стратегии B2 и В3,

в этом случае q1=0 и q3=1-q2=1-q.

Следовательно, ожидаемые платежи игрока В, соответствующие чистым стратегиям игрока А, имеют следующий вид.

Наилучшее решение из наихудших для игрока В представ-

ляет собой точку минимума верхней огибающей заданных двух прямых. Эта процедура эквивалентна решению уравнения

-1+4q = 6-4q (табл. 6).

16

v = - 1+4 (7/8) = 5/2. Таким образом, решением игры для игрока А является смешивание стратегий A1 и А2 с равными вероятностями 0,5 и 0,5, а для игрока В – смешивание стратегий В2 и В3 с вероятностя-

ми 7/8 и 1/8: v = 5/2, р*= (1/2; 1/2) и q* = (0; 7/8; 1/8).

Пусть теперь в матричной игре две чистые стратегии имеет игрок В, а число чистых стратегий у игрока А произвольно (равно m). Это означает, что платежная матрица такой игры имеет вид

Анализ такой игры во многом напоминает рассуждения, описанные для игры 2 п.

Пусть q = (q, 1-q) – произвольная смешанная стратегия игро-

Зависимость этого выигрыша от переменной q описывается

прямой. Графиком функции max (ai1q+ai2(l-q)) является верхняя оги-

1 i m

бающая семейства прямых (рис. 2), соответствующих чистым стратегиям игрока А (рис. 3). Абсциссой нижней точки полученной ломаной будет значение q*, определяющее оптимальную смешанную стратегию игрока В, а ординатой – цена игры.

Отыскание оптимальной смешанной стратегии игрока А проводится по той же схеме, которая позволяет находить оптимальную смешанную стратегию игрока В в игре 2 п. Рассмотрим конкретный пример.

17

Рис. 3. Графическое решение игры т 2

Нижняя цена игры равна 0, верхняя – равна 3. Седловой точки нет. Решение игры нужно искать в смешанных стратегиях.

Ожидаемые выигрыши игрока В, соответствующие чистым стратегиям игрока A, приведены в табл. 7.

Таблица 7

Построим на координатной плоскости (q,w) все три прямые, а затем и их верхнюю огибающую (рис. 4). Нижняя точка верхней огибающей является точкой пересечения прямых (1) и (2). Решая

Рис. 4. Графическое решение игры (пример 2)

18

Приравниваем средние выигрыши игрока А, соответствующие чистым стратегиям игрока В: -1+4p=3-4p, и находим р*=1/2.

Таким образом, цена игры и оптимальные смешанные стратегии игроков А и В соответственно равны:

v = 1, р*= ( 12 , 12 , 0), q*= ( 12 , 12 ).

Пусть имеем игру размерности т п с матрицей

Обозначим через р* = (p1;...;рт), q* = (q1;...;qn) оптимальные смешанные стратегии игроков А и В. Стратегия р* игрока А гарантирует ему выигрыш не меньше v, независимо от выбора стратегии Bj игроком В. Это можно записать так:

где p1+p2+...+рт=1; рi 0 (i=1,…,m).

Аналогично стратегия q* игрока В гарантирует ему проигрыш не больше v, независимо от выбора стратегии Аi игроком А, т. е.

где q1+q2+…+qп=1; qj 0 (j=1,…,п).

19