Материал: Д6903 Алексеев ГВ Системный подход в пищевой инженерии

на основе которой в дальнейшем и будут сформулированы «правила поведения» – критерии выбора оптимальной стратегии ЛПР.

Элемент аij назовем выигрышем ЛПР, если он использует стратегию Аi при состоянии природы Пj. Его значение может быть как положительным, так и нулем, так и отрицательным числом.

Решение игры с природой несколько отличается от решения обычной игры, где оба игрока ведут игру сознательно. Отличие состоит в упрощении игры. Выявление дублирующих и доминируемых стратегий производится только для стратегий ЛПР. Стратегии природы нельзя опускать, поскольку она не имеет «умысла» навредить ЛПР, более того, она может реализовать состояния, заведомо выгодные ЛПР.

При решении игры с природой наряду с платежной матрицей используется матрица рисков. Элементы rij матрицы рисков равны разности между максимально возможным выигрышем и тем выигрышем, который ЛПР получит в тех же условиях Пj, применяя стра-

тегию Аi, т. е. rij = j - аij, где j = max аij.

i

Оптимальную стратегию ЛПР можно определяют, используя ряд критериев. При известном распределении вероятностей различных состояний Пj природы пользуются критерием Байеса. Показателем в этом критерии служит либо величина среднего выигрыша, либо величина среднего риска.

Платежную матрицу (аij) представим в виде табл. 10.

По критерию Байеса за оптимальную принимается та чистая

Матрицу рисков представим в виде табл. 11. За оптимальную стратегию ЛПР принимается чистая стратегия Ai, при которой мини-

мизируется средний риск, т.е. обеспечивается r = min ri , где

i

Таблица 11

Вслучае, когда одно состояние природы нельзя предпочесть другому, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которому все состояния природы полага-

ются равновероятными, т. е. q1=q2=…=qп=1/n. Оптимальной считается стратегия, обеспечивающая максимум среднего выигрыша.

Вслучае, когда вероятности состояний природы неизвестны, для решения игр с природой – выбора оптимальной стратегии ЛПР – можно использовать несколько критериев.

Максиминный критерий Вальда совпадает с критерием вы-

бора максиминной стратегии, позволяющей получать нижнюю чис-

тую цену в парной игре с нулевой суммой. По критерию Вальда, за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т. е.

=max min аij.

ij

Это критерий крайнего пессимизма, так как ЛПР исходит из предположения, что природа действует против него наилучшим для себя образом.

32

Критерий минимального риска Сэвиджа рекомендует вы-

бирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях (достигается «минимальный риск из максимально возможных»), т.е.

нии риска.

Критерии Вальда и Сэвиджа ориентируют ЛПР на самые неблагоприятные состояния природы, т. е. эти критерии выражают пессимистическую оценку ситуации.

Критерий Гурвица (критерием пессимизма-оптимизма) рекомендует рассчитывать на нечто среднее. За оптимальную чистую стратегию принимается та, для которой выполняется соотношение

= 1 – критерий крайнего оптимизма (рекомендуется выбирать лучшее из лучшего). В случае, когда 0 < < 1, мы имеем нечто среднее. При желании подстраховаться в данной ситуации принимают близким нулю. В общем случае число выбирается из субъективных соображений (опыта, здравого смысла и т.д.).

Пример 1. Потребление исходного сырья S на предприятии

взависимости от его качества составляет 5, 6 или 7 ед. Если для выпуска запланированного объема продукции сырья S окажется недостаточно, запас его можно пополнить, что потребует дополнительных затрат в размере 4 ед. в расчете на единицу сырья. Если же запас сырья превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 3 ед. в расчете на единицу сырья. При изучении работы аналогичных предприятий планирующий орган располагает некоторой дополнительной информацией, снижающей неопределенность ситуации: 1) известны вероятности потребности в сырье в количествах 5, 6 и 7 ед.: 0,25; 0,35; 0,4; 2) потребность

всырье равновероятна; 3) о вероятностях потребности в сырье ничего определенного сказать нельзя (табл.12).

Планирующий орган предприятия может принять одно из следующих решений: создать запас сырья в 5 ед. (стратегия A1); в 6 ед. (стратегия А2); в 7 ед. (стратегия А3).

Второй играющей стороной – природой – будем считать совокупность объективных внешних условий, определяющую потребность в сырье. Если для выпуска запланированного объема продукции сырья S окажется достаточно в размере 5 ед., это будет означать состояние природы П1; если в размере 6 ед. – состояние П2; в размере 7 ед. – состояние П3. Итак, описанная ситуация представляет собой игру с природой. Рассчитаем элементы платежной матрицы (табл. 13). Так, в ситуации (A1, П1) элемент a11 вычисляется следующим образом. Плановый орган принимает решение создать запас сырья в 5 ед., что и соответствует их расходованию в 5 ед., a11 = 0. Элемент a12 рассчитываем так. Запас сырья создан в 5 ед., а для выпуска запланированного объема продукции требуется 6 ед. Мы его пополняем, что потребует затрат в размере 4·(6-5) = 4 ден. ед., т.е. a12 = -4. Аналогично определяются и другие элементы табл. 13, например элемент a21 для ситуации (A2, П1). Запас сырья создан в 6 ед., а для выпуска запланированного объема продукции требуется

5 ед.

Запас сырья превышает потребности, тогда дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 3·(6-5) = 3 ден. ед., т.е. a21 = -3. В общем случае элементы платежной матрицы рассчитываются по формуле

Вычисляем средние выигрыши (критерий Байеса):

1 =0 0,25+(-4) 0,35+(-8) 0,4=-4,6, 2 =-2,35, 3 =-2,55.

Оптимальной стратегией по Байесу является A2:

= mах(-4,6, -2,35, -2,55) = -2,35 (ден. ед.).

Результаты расчетов по критериям Лапласа, Вальда и Гурвица приведены в табл. 14 (оптимальное значение выделено жирным шрифтом).

Все они рекомендуют иметь запасы исходного сырья в 6 ед.

2.1.1.Решение задач теории игр с природой

спомощью MathCAD

Рассмотрим решение следующей задачи с помощью

MathCAD.

Пример 1. Объем продаж некоторого товара V за рассматриваемый период времени в универмаге колеблется, в зависимости от уровня покупательского спроса, в пределах от 5 до 8 ед.

Прибыль универмага от единицы реализованного товара V равна 3 ден. ед. Если запаса товара окажется недостаточно для удовлетворения спроса, можно заказать дополнительно некоторое количество товара, что потребует новых затрат на доставку в размере 4 ден. ед. за единицу товара. Если же запасенный товар полностью реализовать не удастся, то расходы на хранение остатка составят 2 ден. ед. за единицу товара.

35