Материал: Аверянов Введение в оператсионные системы и основы программирования 2015

при достижении заданной погрешности и невязки, как и для метода хорд.

4.3.5. Метод секущих

Модификацией метода касательных является метод секущих,

В этом случае достаточно вычислить значение производной в опорной точке для нахождения точки по формуле (4.28) и использовать это значение для построения последовательности секущих линий и определения последовательности приближенных зна-

Рис. 4.15. Метод секущих. Опорная точка

В отличие от метода касательных для вычисления производной

236

Из соотношения (4.28) и с учетом (4.33) и получается формула метода секущих:

. (4.34)

Обычно в методе секущих требуется больше итераций, чем в методе касательных, но зато каждая итерация выполняется значительно быстрее, так как не требуется вычислять производные, и поэтому часто при таком же объеме вычислений можно сделать больше итераций и получить более высокую точность.

Задачи по теме «Решение нелинейных уравнений»

Вычислить корень уравнения (4.24) двумя различными методами, указанными в задачах и сравнить полученные результаты.

Задача 4.10. Метод дихотомии и метод хорд. Задача 4.11. Метод дихотомии и метод Ньютона. Задача 4.12. Метод дихотомии и метод секущих. Задача 4.13. Метод хорд и метод Ньютона. Задача 4.14. Метод хорд и метод секущих. Задача 4.15. Метод Ньютона и методом секущих.

Варианты данных к задачам 4.10 – 4.15

237

4.4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ

4.4.1. Интерполяция функции полиномами степени N

Ранее было показано, что по двум заданным точкам координатной плоскости можно построить интерполяционный полином пер-

График такого полинома представлен на рис. 4.16.

238

Рис. 4.16. Интерполяционный полином степени N

Рис. 4.17. Интерполяция функции полиномом

Форма представления интерполяционного полинома (4.35) или (4.36) называется канонической. Чтобы записать полином в канонической форме, нужно вычислить коэффициенты ai, где i – номер точки, изменяющийся от нуля до N. Для этого решается система

239

Рассмотренные полиномы называются интерполяционными, поскольку служат для интерполяции функций. Если функция f(x) не

Такую замену называют аппроксимацией. Если требуется, чтобы аппроксимирующая функция точно совпадала с f(x) во всех , то

ответственно, каждый – это узел сетки. В связи с этим таблично заданные функции называют так же сеточными. Узлы интерполяции обычно совпадают с узлами сетки.

Сетка узлов называется равномерной, если построена таким образом, что:

. (4.38)

Чем ниже степень полинома, интерполирующего функцию, тем проще вычислительные модели, построенные на его основе. Можно интерполировать таблично заданную функцию f(x) не одним полиномом степени на всем отрезке , , а несколькими полиномами более низких степеней на коротких участках этого отрезка. Такая интерполяция называется кусочной.

240