Материал: Аверянов Введение в оператсионные системы и основы программирования 2015

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

4.4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней

Для лучшего понимания этой идеи рассмотрим простейшие способы построения графиков функций по точкам. Самый простой способ построить график функции на отрезке , (где и ) по известным точкам – это взять линейку и соединить точки, нанесенные на координатную плоскость отрезками прямых ли-

ний, как на рис. 4.18.

Рис. 4.18. Построение графика функции из отрезков прямых

Можно так же взять лекало и соединить точки плавными кривыми. Плавность кривых, соединяющих точки графика, зависит от вида функций, описывающих эти кривые. Такими кривыми могут быть параболы типа x2, как это показано на рис. 4.19.

Рис. 4.19. Построение графика функции из фрагментов парабол типа x2

241

Соединение точек отрезками прямых означает, что на каждом

отрезке

(где

 

 

) оси x функция f(x) интерполирует-

ся полиномом,первой

степени

:

 

 

 

 

 

 

1,

,

 

 

(4.39)

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

.

(4.40)

 

 

1

 

 

 

Здесь первый индекс

– это степень полинома, а второй индекс –

это номер полинома.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эквивалентный полином Лагранжа представляется в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

(4.41)

 

 

 

 

 

 

 

 

а полином Ньютона можно записать в виде:

.

(4.42)

При построении кусочно-квадратичного приближения узлы раз-

биваются не на пары, а на тройки

.,

Но,

. Так же как в

случае линейной интерполяции:

при этом N должно

1,

быть четным целым положительным числом. При нечетном значении N ситуация значительно осложняется. Если множество узлов удалось разбить на тройки, то значения функции в узлах позволят

получить уравнение полиномов второй степени

на каждом

отрезке

. Интерполирующий полином на отрезке квад-

ратичной интерполяции,

имеет три эквивалентные формы записи.

Это полином в канонической форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

(4.43)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

(4.44)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

242

 

 

 

 

 

 

 

полином Лагранжа:

(4.45)

и полином Ньютона:

(4.46)

.

4.4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N

Для кусочного приближения функции f(x) интерполяционными полиномами более высоких степеней можно использовать представление полиномов в общем виде.

Полином Лагранжа:

∑

,

(4.47)

где – так называемый базисный полином:

∏

и полином Ньютона:

…

… (4.48)

∑

,

(4.49)

где

; ;…;

…

, (4.50)

243

которая называется разделенной разностью i-го порядка

;;…; и вычисляется по схеме:

,

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

;

 

,;

 

;

 

 

;

,

 

 

 

 

,

 

 

;

 

 

 

;

;

;

 

 

 

;

;

;

;

(4.51)

,

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

;

; ; ;

 

 

 

; ;

 

 

,

;

,

 

 

 

 

,

 

,

 

 

;

;

 

,

;

;

;

;

 

;

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

;

;

 

;

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

;,

.

С учетом (4.51) интерполяционный полином Ньютона второй степени можно записать в виде:

; ;

;

.

(4.52)

Кусочная интерполяция функции на равномерной сетке узлов (4.38) полиномом степени N дает погрешность этой степени относительно величины h:

. (4.53)

В заданиях данного лабораторного практикума рассматриваются функции аналитического вида, т.е. явные формулы для которых известны. По такой формуле можно посчитать «истинное» значение функции. Поэтому погрешность приближения функции полиномом можно оценить величиной невязки, которая представляет собой разность между «истинным» значением функции и значением, полученным в результате приближенных вычислений, или, еще точнее – это модуль такой разности:

ξ

|

|.

(4.54)

244

Задачи по теме «Интерполяция функций полиномами»

Задача 4.16. Исследование свойств таблично заданной функ-

ции.

Вычислить таблицу значений функции f(x) в равноотстоящих

1.

узлах на отрезке

:

 

;

 

 

0,

;

 

 

/ .

 

 

,

 

 

 

 

 

 

2.

Найти максимальное и минимальное значения функции:

 

 

 

 

 

 

min

,

 

 

 

 

max

,

 

 

 

и соответствующие им номера узлов .

 

 

 

 

 

 

3.

Вычислить среднее значение

 

, средний квадрат

и средне-

квадратичное значение функции

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑

 

;

 

 

 

 

 

∑

;

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Найти относительное

число

положительных

 

 

и отрица-

тельных

значений функции:

 

 

 

1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

где

и

– число положительных и отрицательных значений

таблицы

соответственно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Вычислить среднеквадратичное отклонение от среднего зна-

чения:

 

 

 

 

σ

 

∑

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варианты функций для задач 4.16 – 4.19

 

 

 

 

Для всех вариантов

1

 

 

 

.

 

 

1 4;

 

20

100.

Коэффициенты:

,

5; 245,

 

 

 

 

 

0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Источник: https://studfile.net/preview/16708824/

Смотрите также:

_Rezonans_napryazheniy
_Ugolov_Process_05
«Характеристика объектов коммерческой деятельности в торговле»
(никита)KUL_T_KL_EKZAMEN
[1 курс] БЖД
[ТЕСТЫ] по гистологии IMK №2
# Вопрос Ответ
01
04