Материал: Аверянов Введение в оператсионные системы и основы программирования 2015

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2.	sin	π		.
1.	cos	π		.
3.	cos	π		.
4.	sin	π	/ .
5.	cos	π	/ .
6.	tg	π	/4 .
7.	tg		/	/4 .
8.				.
9.				.
10.			/	/ .
11.			/	.
12.	/		/	/ .
13.	/			.
14.	/	/		.
15.	/	/		.
16.	/	/		/ .
17.	/	/	/	/ .
19.			/	.
18.			/	.
21.			/	/ .
20.	/			.
22.	/	/		.
	/	/		.

Задача 4.17. Вычисление биноминальных коэффициентов.

Вычислить таблицу биноминальных коэффициентов			для задан-
ного (вводимого с клавиатуры) натурального числа			7	двумя
способами:			7
1) по формуле:
!	! !	;

2) при помощи треугольника Паскаля:

246

N									k
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

0							1	1	1
1						1		2		1
2					1		3		3		1
3				1		4		6		4		1
4			1		5		10		10		5		1
5		1		6		15		20		15		6		1
6	1		7		21		35		35		21		7		1
7

Левое и правое значение в строке треугольника Паскаля всегда равно единице. Значение любого другого элемента вычисляется как сумма ближайших левого и правого элементов предыдущей строки.

Задача 4.18. Вычисление таблицы разделенных разностей.

Для табличной функции на отрезке				:	0, ;
где	,	/		;	0, ;
		/		(	7).	;…;
1.	Составить таблицу разделенных разностей						по
вычислительной схеме (4.51).							по
2.	Для проверки использовать вычисление разделенных разно-
стей по формуле:			∑	1
	;…;	!	∑	1	.

Вычисление биноминальных коэффициентов рассмотрено в за-

даче 4.17.

Задача 4.19. Исследование интерполяционных полиномов.

Для табличной функции на отрезке			:
	,	,		;	0, .
	,	,		;	0, .
1.	Построить интерполяционный полином Ньютона второй сте-
пени	в соответствии с (4.46).
		247

2.	Проверить правильность вычислений по формуле (4.45) для
табличной функции			(x) в узлах интерполяции и в промежуточ-
ных точках между узлами сетки:							.
3.	Вычислить погрешности			интерполирования:
				/2	/2,	0,	/2 ;
	ε	/2				/2 .
		ε	max ε

4. Вычислить средний квадрат погрешности ε и среднеквадратичную погрешность ε :

4.5.ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

4.5.1.Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций

Численное дифференцирование – задача вычисления производных функции f(x) в заданных точках отрезка [ab]. Например, в рав-

ноотстоящих узлах сетки с шагом h: ( ). Величина;			h либо;	из-
вестна,	соотношением:
2либо; …определяется;	; …;
		.	(4.55)

Если дифференцируемая функция задана таблично в узлах сетки или имеет сложный аналитический вид (формулу), то ее можно аппроксимировать функцией с простым аналитическим представле-

нием, например интерполяционным полиномом Ньютона	,
который будет интерполировать функцию с погрешностью	:
.	(4.56)
248

Вполне достаточную для практических приложений точность дифференцирования можно получить путем кусочной интерполяции полиномами малых степеней (k = 1, 2 или 3) и их последующего дифференцирования.

Для интерполяции функции на некотором отрезке

удобно ввести безразмерную переменную q, принимающую целые значения в узлах интерполяции

		∆		1,				,	;		;…;			(4.57)
								,						(4.57)
					,									использовать ко-
а вместо разделенных разностей														использовать ко-
нечные разности							вычисляемые по схеме:
,	∆		,	∆	∆						2
	∆		,
,	∆									∆				,
	∆		∆	∆		∆				∆		,		(4.58)
,	∆		∆	,	∆				2			,
.	∆
Тогда полином Ньютона (4.49) можно записать в виде:
	∆				∆								∆
	∆				∆					∆ .			∆	(4.59)
					!…					∆ .
При этом кусочная интерполяция (k = 3) имеет вид:
	,				∆						2	1	∆	(4.60)
					∆							,
					∆							,
где	– погрешность интерполяции.
							249

После чего, продифференцировав полином как сложную функцию, получаем выражения для первой и второй производной:

′	′	′	′		(4.61)

и		′ ′
′′	′		′′	,	(4.62)

тогда при кусочной интерполяции полиномами третьей степени:

′	,			1	∆	1	2	1 ∆		(4.63)
	1	3				2		′
	1		6			2 ∆
и	6		6			2 ∆	1 ∆
′′				∆				′′
,									.	(4.64)
,									.	(4.64)

4.5.2. Конечно-разностные формулы для производных

На основе (4.63) и (4.64) получаются выражения для вычисления первой и второй производной со вторым порядком точности относительно величины h:

′,

′′,

∆	∆	;	(4.65)

∆	1 ∆	.	(4.66)

	Подставляя	значения:							(	),			(	),
(	) и			(			),	получаем окончательные выражения
(	) и			(			),	0				1			2
для вычисления			первых и вторых производных:
для вычисления			3			∆		∆		∆
	′′										;		;		(4.67)
													;

	′				∆					∆			;
	′												;
						∆		250

Источник: https://studfile.net/preview/16708824/

5. Исследовать, как меняются ε

и ε с изменением N.


_Rezonans_napryazheniy
_Ugolov_Process_05
«Характеристика объектов коммерческой деятельности в торговле»
(никита)KUL_T_KL_EKZAMEN
[1 курс] БЖД
[ТЕСТЫ] по гистологии IMK №2
# Вопрос Ответ
01
04

N									k
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

0							1	1	1
1						1		2		1
2					1		3		3		1
3				1		4		6		4		1
4			1		5		10		10		5		1
5		1		6		15		20		15		6		1
6	1		7		21		35		35		21		7		1
7

N									k
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

0							1	1	1
1						1		2		1
2					1		3		3		1
3				1		4		6		4		1
4			1		5		10		10		5		1
5		1		6		15		20		15		6		1
6	1		7		21		35		35		21		7		1
7

N									k
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

0							1	1	1
1						1		2		1
2					1		3		3		1
3				1		4		6		4		1
4			1		5		10		10		5		1
5		1		6		15		20		15		6		1
6	1		7		21		35		35		21		7		1
7