Материал: Аверянов Введение в оператсионные системы и основы программирования 2015
′′′′ |
|
|
|
|
∆ |
∆ |
|
; |
|
∆ |
|
; |
(4.68) |
||||||
|
|
|
|||||||
′′ |
|
∆ |
2∆ |
|
; |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
′′ |
|
|
∆ |
∆ |
|
|
. |
||
|
|
|
|
||||||
Таким образом, в узлах |
, |
1, |
|
1) первая и вторая произ- |
|||||
водная функции f(x) будут определяться выражениями:
|
′ |
|
|
; |
||
|
|
|||||
′′ |
|
|
2 |
(4.69) |
||
|
|
. |
||||
|
||||||
На левой границе первая и вторая производная будут иметь вид:
|
′ |
3 |
5 |
4 |
4 |
; . |
|
′′ |
2 |
(4.70) |
Значения первой и второй производной на правой границе сетки узлов будут вычисляться по формулам:
|
′ |
4 |
5 |
3 |
2 |
|
|
|
′′ |
4 |
; |
. |
(4.71) |
Задачи по теме «Численное дифференцирование»
Задача 4.20. Вычислить таблицу точных значений первых производных функции ′ на основе аналитических формул дифференцирования и приближенных значений производных по форму-
лам (4.69) – (4.71).
Сравнить результаты.
1.Оценить погрешности (модули разности между точным и приближенным значением).
2.Выяснить влияние на погрешность величины шага h и количества точек N.
251
Варианты функций для задачи 4.20 и 4.21
2. |
sin π . |
1. |
|
.
3.sh .
5. |
cos π . |
4. |
|
.
6.ch .
7. sh .
8. |
/ . |
9.sh .
10.ch .
11./ .
12.ch .
13.sin .
14.sin .
15.sh .
16.cos .
17.cos .
18.tg π /4 .
19.sin .
20.sin .
21. |
1 ln |
1 . |
22.cos .
23.cos .
24. ln 1 .
25.sin .
26./ .
27. arcsin /2 .
28.arctg .
29. |
/ |
. ln |
1 . |
30. |
1 |
Задача 4.21. Вычислить таблицу точных значений вторых про-
изводных функции ′′ |
на основе аналитических формул диффе- |
|
252 |
ренцирования и приближенных значений производных по форму-
лам (4.69) – (4.71).
Сравнить результаты.
1.Оценить погрешности (модули разности между точным и приближенным значением).
2.Выяснить влияние на погрешность величины шага h и количества точек N.
4.6.ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
4.6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
Численное интегрирование – задача вычисления определенного интеграла функции f(x), непрерывной на отрезке [ab]. Если известна первообразная F(x), то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона–Лейбница:
. |
(4.72) |
При трудностях нахождения первообразной функция f(x) может
быть задана таблицей |
и |
. |
0,…, |
, с соблюдением |
|
, где |
|
||
граничных условий |
|
|
После этого можно выпол- |
|
нить кусочно-линейную интерполяцию функции f(x), заменив ее на отрезках , интерполяционным полиномом Лагранжа первой степени:
. (4.73)
Для увеличения точности интегрирования используется кусоч- но-квадратичная интерполяция функции на отрезке , полиномом Лагранжа второй степени:
, (4.74)
253
и – остаточные члены интегрирования соответствующего прядка точности. В обоих случаях определенный интеграл функции на отрезке [ab] будет равен сумме интегралов на составляющих его отрезках.
Для удобства интегрирования вводится переменная:
. (4.75)
В результате полиномы Лагранжа первой и второй степени запишутся в виде:
и |
1 |
|
|
(4.76) |
|||
|
|
1 |
2 |
. |
2 |
(4.77) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование полинома Лагранжа первой степени на отрезке [ , сводится к его интегрированию на отрезке [0,1 по переменной q. Новые пределы интегрирования получаются подстановкой старых пределов в выражение (4.75):
|
|
|
|
|
(4.78) |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
Определенный интеграл на отрезке [ |
вычисляется как сумма |
||||
интегралов (4.78) на всех отрезках [ |
, |
(4.79): |
|
||
1 |
|
|
|
. |
(4.79) |
2 |
|
|
|
|
|
Интерполяция функции полиномами Лагранжа второй степени позволяет получить квадратурную формулу Симпсона:
254
(4.80)
1
3 4 .
На отрезке [ локальные интегралы суммируются, при этом количество узлов N должно быть четным:
1 |
4 |
. |
(4.81) |
3 |
|
Численное интегрирование по формулам (4.79) и (4.81) имеет наглядную геометрическую интерпретацию: определенный интеграл – это площадь под кривой функции на отрезке [ .
Кусочно-линейная интерполяция позволяет рассматривать интеграл как сумму площадей локальных трапеций (криволинейных, в случае кусочно-квадратичной интерполяции).
4.6.2. Метод прямоугольников
Существуют еще более простые геометрические интерпретации и соответствующие им методы вычисления определенных интегралов. Это так называемые методы прямоугольников (рис. 4.20 и 4.21). Интегралы вычисляются по формулам (4.82) или (4.83) для ступенчатых функций, которыми интерполируется функция на отрезке [ .
В результате интеграл представляет собой сумму площадей прямоугольников:
(4.82)
или
. (4.83)
255