Материал: Аверянов Введение в оператсионные системы и основы программирования 2015

Последовательность итераций метода деления отрезка пополам

В качестве решения, для определенности можно принять

ξср. Значения погрешности ε и невязки δ определяются из со-

ображений необходимой точности решения задачи и входят в блок

Рис. 4.12. Решение уравнения делением отрезка пополам

ξ

рицательного на положительный, если функция возрастает и с положительного на отрицательный, если функция убывает.

Соответственно, на концах половины отрезка, которая содержит корень уравнения, функция будет иметь разные знаки, а на концах половины отрезка, не содержащей корня, – одинаковые знаки.

Произведение чисел с разными знаками отрицательно, тогда как произведение чисел с одинаковыми знаками положительно.

На первой (1) итерации (рис. 4.12) функция меняет знак на от-

На второй итерации (2) функция меняет знак уже на отрезке ср , (выполняется критерий: ср 0), и точка ср ста-

новится новой точкой . Все последующие итерации выполняются по той же схеме.

Условием применимости метода деления отрезка пополам является непрерывность функции на заданном отрезке , и наличие единственного корня функции на этом отрезке.

Сначала строится хорда (прямолинейный отрезок) соединяю-

зом, определяется приближенное значение корня уравнения – точка и соответствующая ей на графике точка .

232

а

б

Рис. 4.13. Метод хорд: а – опорная точка A; б – опорная точка B

Далее строится хорда, соединяющая точку с опорной точкой ( или ) и позволяющая найти следующие приближение корня уравнения – точку , и т.д. В результате последовательного построения хорд (см. рис. 4.13, б) формируется последовательность

функции в опорной точке со знаком второй производной функции

В примере, представленном на рис. 4.13, указанному критерию

рис. 4.13, а), то последовательность точек пересечения с осью выйдет за пределы отрезка , .

233

Соответственно, координаты пересечения точки пересечения хорды и точек пересечения последующих хорд осью будет определяться выражениями:

;

;

4.3.4. Метод касательных (метод Ньютона)

Метод касательных используется для решения уравнения (4.24), если кривая функции на конечном (или бесконечном) отрезке монотонно возрастает или убывает без точек перегиба, т.е. на от-

Критерий выбора опорной точки – совпадение знака функции в

По своей сути этот метод похож на метод хорд и отличается только способом построения линейных функций, с помощью кото-

234

рых определяется очередное приближённое значение корня уравнения – вместо хорд используются касательные (рис. 4.14).

Аналогичным образом получаются все последующие приближения:

. (4.31)

Метод касательных является условно сходящимся методом, для его сходимости в области поиска корня должно быть выполнено условие:

в противном случае сходимость будет лишь в некоторой окрестности корня ξ. Процесс решения завершается на итерации с номером

235