Материал: Аверянов Введение в оператсионные системы и основы программирования 2015

принимающую целые значения 0, 1 и 2 в точках , и . Тогда с учетом (4.20) и (4.21) выражение для интерполяционного полинома Лагранжа второй степени (4.11) запишется как

1 2 2 1 . (4.22)

Интегрируя полином Лагранжа в соответствующих пределах, получим выражение

(4.23)

4,

называемое формулой Симпсона.

Задачи по теме «Фигуры на координатной плоскости»

Задача 4.6. Существование и классификация треугольника, определённого через длины сторон. Задано несколько троек чи-

сел a, b и c – возможные стороны треугольника (см. варианты заданий). Необходимо выполнить следующие действия.

1.Запрограммировать последовательный ввод с клавиатуры значений a, b и c.

2.Переставить значения длин сторон a, b и c таким образом, чтобы сторона c оказалась гипотенузой.

3.Проверить возможность существования треугольника с гипотенузой в соответствии с теоремой косинусов (используя формулу (4.14)) или теоремой Пифагора.

4.Если треугольник существует, то на основании теоремы косинусов или теоремы Пифагора классифицировать его как:

1) тупоугольный;

2) прямоугольный;

3) остроугольный.

226

5. Классифицировать существующий треугольник как:

1)разносторонний;

2)равносторонний;

3)равнобедренный.

Варианты данных для задачи 4.6

Задача 4.7. Существование и классификация треугольника, определённого через координаты вершин на плоскости. На ко-

ординатной плоскости задано несколько наборов по три точки A, B и C с координатами , , , и , соответственно

(см. рис. 4.8).

1.Необходимо проверить существование треугольника (не лежат ли точки на одной прямой).

2.Если треугольник существует, то классифицировать его как тупоугольный, прямоугольный или остроугольный, а также как разносторонний, равнобедренный или равносторонний.

Задача 4.8. Вычисление площади треугольника, определённого через координаты вершин на плоскости. Дополнить задачу

3.7 (используя те же варианты данных) вычислением площади треугольников по формуле Герона, а также через суперпозицию площадей трапеций. Сравнить результаты. Погрешность вычислений:

ε0,01.

Задача 3.9. Вычисление площади криволинейной трапеции.

Вычислить площадь криволинейной трапеции (см. рис. 4.9) по формуле Ньютона–Лейбница (4.19) и проверить результат по формуле Симпсона (4.23). Трапеция ограничена параболой

Варианты данных к задаче 3.9

1. 7,54; 6,34; 4,52; 1,19; 3,02.

228

4.3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.3.1. Подход к решению нелинейных уравнений

Распространенной задачей в самых разных областях вычисле-

Рис. 4.10. Приближенное решение нелинейного уравнения. Пологая функция

229

Рис. 4.11. Приближенное решение нелинейного уравнения. Крутая функция

При этом значения функции в точках ξ и ξ должны отличаться не более чем на величину невязки δ – малой положительной величины. Величины погрешности и невязки являются необходимыми начальными данными для решения задачи нахождения корня нелинейного уравнения:

Значимость величин отклонения – погрешности ε и невязки δ, иллюстрируется на рисунках выше. Если в окрестности корня ξ функция достаточно пологая (см. рис. 4.10), то величина погрешности ε достаточна для регулирования точности решения. Если же функция круто возрастает или убывает (см. рис. 4.11), то для точности решения становится существенным значение невязки δ.

4.3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)

Основная идея решения уравнения (4.24) методом дихотомии заключается в том, что корень уравнения – ξ, являющийся внутрен-