Материал: LS-Sb89548

Межатомный потенциал ВХБ достаточно хорошо описывает величины пробегов бомбардирующих частиц в среде в диапазоне энергий, характерных для ионной имплантации.

Потенциал Борна– Майера. Наиболее удобными с точки зрения математического применения являются пробные межатомные потенциалы взаимодействия, применяемые к атомам различных элементов и содержащие ряд подгоночных параметров. Одним из них является чисто экспоненциальный межатомный потенциал взаимодействия Борна– Майера:

UBn−Mr (r) = Aexp (−br),

где A и b – постоянные, определяемые для каждой из пар сталкивающихся атомных частиц. Этот межатомный потенциал взаимодействия подробно исследован для широкого класса нейтральных атомов в основном состоянии.

Межатомный потенциал взаимодействия Борна– Майера достаточно хорошо работает при больших межъядерных расстояниях, для которых существенны взаимодействия между внешними электронными оболочками сталкивающихся атомных частиц. Это фактически позволяет представить аналитически сложные потенциалы межатомного взаимодействия, описываемые в рамках статистической модели атома Томаса– Ферми, в виде чисто экспоненциального межатомного потенциала взаимодействия Борна– Майера. На его основе разработан модифицированный потенциал взаимодействия Борна– Майера, который лучше адаптируется к различным сочетаниям партнеров столкновения, так как содержит параметры, характерные для конкретных пар сталкивающихся атомных частиц:

ляемые индивидуально для каждой из пар сталкивающихся атомных частиц. Однако следует отметить, что статистическая модель атома Томаса– Ферми, лежащая в основе описанных ранее межатомных потенциалов взаимодействия, наиболее справедлива для описания сферически симметричных атомов с заполненными оболочками. Приведенные межатомные потенциалы взаимодействия, для которых можно представить приемлемое аналитическое выражение, не отражают самой характерной черты атомов – их оболочечной структуры. Вследствие различия электронной структуры сталкивающихся

16

атомов реальный межатомный потенциал взаимодействия не является монотонным, и в сечениях упругого рассеяния атомов должны проявляться осцилляции, обусловленные оболочечной структурой сталкивающихся атомов.

Кроме того, предположения при выводе почти всех известных межатомных потенциалов взаимодействия, применяемых при описании процессов рассеяния атомных частиц в твердом теле, получены в рамках статистической теории рассеяния и основаны на принципах бинарности и независимости столкновений, характерных для газовой среды, что некорректно.

Нетрудно заметить, что все рассмотренные ранее межатомные потенциалы взаимодействия являются потенциалами отталкивания. Это характерно для высоких начальных скоростей бомбардирующих ионов. Однако в результате последовательных столкновений с атомами мишени их скорость существенно уменьшается, и в межатомном потенциале взаимодействия должна появляться компонента притяжения, которая также характерна для атомов мишени, смещенных в результате столкновения. Такие потенциалы притяжения характеризуют силы связи атомов в твердом теле и играют существенную роль при дефектообразовании в процессе ионной имплантации.

Полное изложение попыток описания универсальных межатомных потенциалов взаимодействия и их аппроксимаций выходит за рамки настоящего учебного пособия, поэтому остановимся на рассмотрении тех характерных особенностей, которые обладают практической реализацией при оценке параметров технологического процесса ионной имплантации.

2.3.Модель квазижестких сфер

Внастоящее время наиболее эффективным методом расчета пробегов и профилей внедренных ионов в процессе ионной имплантации, безусловно, является численное моделирование методом Монте-Карло. Однако при статистическом моделировании существенное значение имеет скорость численного моделирования, которая определяет репрезентативность статистической выборки и достоверность полученных результатов. Сложность вычислительной процедуры при численном моделировании методом Монте-Карло процессов упругого рассеяния атомных частиц в большей степени определяется выбором межатомного потенциала взаимодействия. При этом должен быть выбран разумный компромисс между реальным физическим описанием процессов взаимодействия и относительной простотой вычислительной процедуры при их математическом моделировании.

17

Как было показано ранее, основной характеристикой при описании процессов упругого взаимодействия атомных частиц является угол рассеяния в системе центра масс Θ, который определяет энергетические потери и последующий характер движения частиц. Определяющую роль при вычислении угла рассеяния Θ (2.3) в приближении парных ионно-атомных столкновений играет выбор межатомного потенциала взаимодействия. Интегрирование (2.3) в аналитическом виде можно провести только для потенциала жестких сфер (2.4):

где R1 и R2 – радиусы сталкивающихся атомных частиц, представленных в виде жестких непроницаемых сфер.

В модели жестких сфер (HS) расстояние наибольшего сближения двух сталкивающихся частиц rmin при любых значениях прицельного параметра b всегда равно сумме радиусов атомных частиц rmin и не зависит от

их энергии относительного движения. Это существенно ограничивает использование модели жестких сфер для описания процессов столкновения атомных частиц. В еще большей степени данное обстоятельство ограничивает в рамках модели жестких сфер возможность статистического моделирования в широком диапазоне энергии сталкивающихся частиц.

При описании взаимодействия атомных частиц в твердом теле существует эмпирическое правило, согласно которому столкновения, приводящие к заметному рассеянию, происходят на расстояниях порядка половины равновесного расстояния между соседними атомами. На таких малых расстояниях можно пренебречь дальнодействующими силами притяжения, определяющими силы связи в твердых телах. Этот диапазон расстояний по порядку величины соответствует размерам сталкивающихся атомных частиц. На этом же принципе основан и метод Полинга для определения, в первом приближении, ионных и атомных радиусов. Таким образом, в достаточно большом диапазоне энергий сталкивающихся атомных частиц, с практической точки зрения, классическое рассеяние жестких сфер является хорошим приближением.

В рамках модели жестких сфер угол рассеяния ϑ в лабораторной системе координат в результате упругого соударения двух атомных частиц с массами M1 и M 2 и радиусами R1 и R2 полностью определяется заданием прицельного параметра b:

18

Прицельный параметр b в области взаимодействия двух атомных частиц лежит в интервале от 0 до (R1 + R2 ) . Микроскопическое сечение рассеяния в рамках модели жестких сфер при этом совпадает с поперечным сечением сферы радиуса (R1 + R2 ) :

σHS = π (R1 + R2 )2 ,

и длина свободного пробега атомной частицы в среде с концентрацией частиц N будет равна:

При этом важно отметить, что определяющим параметром для описания упругого рассеяния атомных частиц в модели жестких сфер является сумма радиусов (R1 + R2 ) сталкивающихся частиц, а не отдельные значения R1 и R2 .

В связи с моделями жестких сфер предпринимались попытки описать процесс упругого рассеяния атомных частиц с помощью процедуры подгонки приближенного потенциала взаимодействия к реальному при некотором расстоянии между атомными частицами, дающем наибольший вклад в рассеяние частиц. Однако практически все полученные приближенные потенциалы взаимодействия плохо работают при больших прицельных параметрах, которые приводят к завышенным значениям передаваемой энергии при упругом столкновении атомных частиц.

Совмещение простоты вычислительной процедуры при использовании потенциала жестких сфер (HS) и корректности физического описания процессов взаимодействия атомных частиц может быть достигнуто применением межатомного потенциала квазижестких сфер (QHS) UQHS(r). В этой модели радиусы сталкивающихся атомных частиц, значения которых зависят от энергии их относительного движения, являются внутренними параметрами модели межатомного потенциала взаимодействия. Процедура описания процессов упругого рассеяния атомных частиц в рамках модели квазижестких сфер ограничивает область больших прицельных параметров при тепловых энергиях атомных частиц их газокинетическими размерами. При больших значениях энергии столкновения атомных частиц область больших прицель-

19

ных параметров соответствует лишь очень малым значениям углов рассеяния и передаваемой энергии и не играет существенной роли.

Рассмотрим более подробно вид и процедуру применения межатомного потенциала взаимодействия UQHS(r). В качестве реальных межатомных потенциалов взаимодействия возможно использование целого ряда пробных потенциалов, применимых к атомам различных элементов и содержащих подгоночные параметры. Наиболее удобным с точки зрения математического применения является межатомный потенциал Борна– Майера (2.7).

Этот чисто экспоненциальный межатомный потенциал взаимодействия позволяет аналитически выразить расстояние наибольшего сближения двух сталкивающихся атомных частиц rmin из уравнения:

Оно при центральном столкновении (b = 0) определяет минимальное расстояние между двумя атомными частицами в точке остановки при инфинитном движении налетающей частицы.

Применение других, более сложных реальных межатомных потенциалов, решение которых относительно rmin не допускает аналитического решения при разных значениях энергии столкновения, возможно, но усложняет описание и вычислительную процедуру моделирования и делает ее менее гибкой в адаптации к изменениям условий реального физического эксперимента.

Если отождествить расстояние максимального сближения атомных частиц с суммой радиусов жестких сфер в точке соприкосновения (см. рис. 2.1), то можно для определения микроскопического сечения упругого рассеяния и

длины свободного пробега воспользоваться моделью жестких сфер. При этом сумма радиусов жестких сфер является переменной величиной rmin и изменяется в зависимости от энергии относительного движения сталкивающихся атомных частиц rmin (Eс), в этом смысле сталкивающиеся атомные частицы можно считать квазижесткими сферами.

Межатомный потенциал взаимодействия квазижестких сфер может быть определен при этом в виде

20