Материал: LS-Sb89548

2.2.Потенциалы ионно-атомного взаимодействия

Вкачестве реальных межатомных потенциалов взаимодействия используют целый ряд пробных потенциалов, применимых к атомам различных элементов и содержащих подгоночные параметры. Как правило, это потенциалы, которые зависят только от расстояния между центрами взаимодействующих частиц (поля центральных сил) и, таким образом, не зависят как от относительной угловой ориентации частиц, так и от их относительной скорости.

Столкновение ускоренного иона с атомом мишени приводит к глубокому взаимному проникновению электронных оболочек сталкивающихся атомных частиц, при этом межатомный потенциал определяется в основном взаимодействием ядер и электронов внутренних оболочек атомов. В этом случае возбуждение и ионизация электронов внешних оболочек атомов слабо влияют на потенциал их взаимодействия и различием между ионно-атомным и атомно-атомным взаимодействиями можно пренебречь. Поэтому в дальнейшем под потенциалом ионно-атомного взаимодействия будем понимать межатомный потенциал взаимодействия.

Потенциал жестких непроницаемых сфер. В рамках этого потенциала взаимодействия система сталкивающихся атомных частиц представляется в виде двух жестких непроницаемых сфер, сумма радиусов которых (R1 и R2)

равна d:

Точечные центры притяжения или отталки-

вания. Этот потенциал взаимодействия (рис. 2.3) Рис. 2.3 описывает систему сталкивающихся частиц, представленную в виде двух точечных центров:

11

где с − положительная константа; п − показатель степени притяжения или отталкивания.

При п = 1 потенциальная функция соответствует кулоновскому взаимодействию. Частицы, о которых предполагается, что они отталкивают друг друга в соответствии с потенциалом вида U(r) ~ с/r4, называют «максвелловскими». Потенциалы притяжения при п = 4 играют особенно важную роль в исследовании ионизованных газов и плазмы, так как индуцированное точечными зарядами дипольное взаимодействие между ионом или электроном и нейтральной молекулой является взаимодействием именно такого типа. Взаимодействие между молекулами часто описываются потенциалом отталкивания при значении п, лежащем в интервале от 9 до 15. Математические трудности, связанные с использованием потенциала взаимодействия U(r) ~ rn, зависят в значительной степени от выбора значения п.

При достаточно больших скоростях относительного движения сталкивающихся атомных частиц возможно их сближение на малые расстояния с образованием кратковременного комплекса – квазимолекулы. В этом случае можно пренебречь экранированием ядер сталкивающихся атомных частиц электронными оболочками и описывать их взаимодействие в рамках кулоновского. Однако область применимости кулоновского потенциала взаимодействия ограничена значением межатомного расстояния r < a0 (a0 – боровский радиус). При больших межатомных расстояниях он убывает существенно медленнее, чем истинный межатомный потенциал взаимодействия.

Из-за плохой сходимости потенциалов кулоновского взаимодействия U(r) ~ 1/r часто вводят различные функции экранирования f (ra) , которые должны удовлетворять следующему условию:

1 при r → 0;

f (r a) =

0 при r → ∞,

где a − параметр экранирования.

При описании взаимодействия атомных частиц часто применяют потенциалы взаимодействия, в которых используются известные функции экранирования.

12

Экранированный кулоновский потенциал. В первом приближении функция экранирования имеет наиболее простой вид: f(r/a) = 1/(r/a). В этом случае кулоновский потенциал, умноженный на f(r/a) = 1/(r/a), сходится ~1/r2 при больших r, но существенно искажает потенциал при r → 0 . В большей степени требованию введения функции экранирования удовлетворяет функция вида f(r/a) = exp(– r/a), и кулоновский потенциал с этой функцией экранирования носит название экранированного кулоновского потенциала взаимодействия и имеет вид

U (r) = e2ZиZa exp(− r a), r

где е – заряд электрона; Zи, Za – порядковые (атомные) номера сталкивающихся иона и атома мишени.

Боровский потенциал. Такое название носит экранированный кулоновский потенциал взаимодействия с параметром экранирования по Бору:

U (r) = e2ZиZa exp (−r aB ) , r

где aB = 0.885a0Za−2/3 – боровский параметр экранирования; a0 = 0.529 Å = = 0.0529 нм – боровский радиус.

Боровский потенциал плохо работает при больших межатомных расстояниях и при r > aB убывает значительно быстрее, чем истинный межатомный потенциал взаимодействия.

Потенциал Фирсова. При расчетах распределения выделенной энергии бомбардирующей частицей в среде часто применяют функцию экранирования Томаса– Ферми, которая не имеет аналитического решения, поэтому используют ее табулированные значения и различные аппроксимации.

Межатомный экранированный потенциал взаимодействия с функцией экранирования Томаса– Ферми и параметром экранирования по Фирсову имеет вид

13

Область применимости этого межатомного потенциала взаимодействия ограничена значением межатомного расстояния a0 ≤ 1 Å; при больших межатомных расстояниях он убывает медленнее, чем истинный межатомный потенциал взаимодействия.

Модифицированный потенциал Фирсова. Этот вид межатомного по-

тенциала взаимодействия получен из потенциала Фирсова (2.5) заменой табулированной функции экранирования Томаса– Ферми на ее аппроксимационное выражение, полученное Никулиным:

Функция экранирования Никулина, полученная приближенным методом решения уравнения Томаса– Ферми с применением вариационного принципа, имеет следующий вид:

fН(raФ) = [a exp (−braФ) + c exp (−draФ)]2 ,

где a = 0.7111, b = 0.175, c = 0.2889, d = 1.6625.

Межатомный модифицированный потенциал взаимодействия Фирсова дает правильный асимптотический спад электронной плотности атомных частиц на больших межатомных расстояниях.

Потенциал Линдхарда. Этот межатомный потенциал взаимодействия получен Линдхардом из потенциала Фирсова (2.5):

аппроксимацией функции экранирования Томаса– Ферми следующим выражением:

где ks и s – постоянные, определяемые из экспериментов по исследованию процессов торможения атомных частиц в веществе; aL – параметр экранирования Линдхарда.

Область применимости этого межатомного потенциала взаимодействия также ограничена значением межатомного расстояния r ≤ 1 Å; при больших расстояниях между ядрами атомных частиц он убывает медленнее, чем истинный межатомный потенциал взаимодействия.

14

Потенциал Мольера. При межатомном расстоянии r ³ 1 Å потенциалы взаимодействия с функцией экранирования Томаса– Ферми убывают медленнее с увеличением r, чем истинный межатомный потенциал взаимодействия, главным образом из-за того, что в статистической теории атома Томаса– Ферми пренебрегается обменным взаимодействием между электронами. Для этого интервала расстояний между ядрами атомных частиц более корректен потенциал Фирсова с приближенной функцией экранирования Томаса– Ферми, предложенный Мольером:

i =1

где С1 = 0.35, С2 = 0.55, С3 = 0.1; b1 = 0.3, b2 = 1.2, b3 = 6.0.

Межатомный потенциал взаимодействия Мольера достаточно хорошо работает при больших значениях зарядовых чисел Z сталкивающихся частиц, т. е. при столкновении тяжелых частиц. Для легких атомов с малыми значениями зарядовых чисел Z теория Томаса– Ферми неприменима при любых расстояниях между сталкивающимися частицами.

Потенциал ВХБ. При проведении расчетов по распределению пробегов бомбардирующих частиц в среде и по пространственному распределению дефектов часто используют метод Линдхарда, основанный на импульсном приближении классической теории рассеяния. Этот метод использует экстраполяцию соотношения между углом рассеяния ϑ и прицельным параметром b , присущим малым углам рассеяния, на весь возможный диапазон углов рассеяния. Однако аналитическое решение этот метод допускает только для степенных потенциалов. Для потенциала с функцией экранирования Томаса– Ферми этот метод имеет численное решение.

Хорошее согласие с экспериментальными результатами по величине пробегов бомбардирующих частиц в среде дает использование в методе Линдхарда межатомного потенциала, полученного квантово-механическим методом свободных электронов Вильсоном, Хаггмарком и Бирзаком. Усредненный по различным сочетаниям партнеров столкновения этот потенциал на основе потенциала Фирсова (2.5) описывается функцией экранирования, представленной в форме Мольера (2.6) и носящей название функции экранирования ВХБ:

3

fВХБ (ra) = ∑ Ci exp (− bi raФ ),

i =1

где С1 = 0.00692, С2 = 0.16693, С3 = 0.82616; b1 = 0.13182, b2 = 0.30785, b3 = = 0.91676.

15