Материал: 5565

57

ГЛАВА 4 ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

[4, гл. 2, § 14];

[5, гл. 7, § 41]; [6, гл. 1, § 7];

[7, гл. 2, подразделы 2–4]

1. Общие положения

Две прямые в пространстве могут иметь различное расположение:

-пересекаться (лежать в одной плоскости). Частный случай пересечения – под прямым углом;

-могут быть параллельными (лежать в одной плоскости);

-совпадать – частный случай параллельности;

-скрещиваться (лежать в разных плоскостях и не пересекаться). Рассмотрим изображение пересекающихся, параллельных и скрещи-

вающихся прямых на комплексном чертеже (табл. 4.1)

M1 b1

a2

b2

Параллельные прямые

Если прямые параллельны, то их одноимен- X ные проекции также параллельны.

Если ab, то a1b1, a2b2

a1 b1

59

Окончание табл. 4.1

b1 D1 M1 (N1)

§ 2. Определение видимости прямых относительно плоскостей проекций

Для определения видимости прямых относительно плоскостей проекции используются конкурирующие точки. Рассмотрим комплексный чертеж скрещивающихся прямых а и b (рис. 4.1 и рис. 4.2). Определим, какая из прямых расположена выше другой (относительно плоскости 1) или ближе другой к наблюдателю (относительно плоскости 2). Для этого необходимо проанализировать положение проекций конкурирующих точек С и D, принадлежащих этим прямым. Из рис. 4.1 следует, что при взгляде сверху по указанной стрелке С2 выше D2 относительно 1. Следовательно, проекция точки С1, принадлежащая прямой а, будет видима, а проекция точки D2, принадлежащая прямой b, (D1 – показана в скобках) будет не видима.

Из двух конкурирующих точек M и N, принадлежащих скрещивающимся прямым а и b (рис. 4.2), относительно плоскости 2, видимой будет проекция точки М2, так как проекция М1 расположена ближе к наблюдателю, что видно при взгляде спереди по указанной стрелке, а проекция точки N2 будет невидима, поэтому она показана в скобках.

60

Рис. 4.1 Рис. 4.2

Понятие конкурирующих точек используется в решении позиционных задач, когда требуется определить видимость, то есть положение прямых между собой и относительно зрителя.

Задание

1.Определить взаимное положение прямых (рис. 4.3–рис. 4.10).

2.Найти конкурирующие точки, если они есть (рис. 4.3–рис. 4.10).

3.Описать положение прямых относительно друг друга (рис. 4.3–

рис. 4.10).

61

Рассмотрим алгоритмы построения прямых: пересекающихся (табл. 4.2) и параллельных (табл. 4.3).

62

Таким образом, можно сделать следующий вывод, так как h2 a2=D2, h1 a1=D1, то эти прямые пересекаются.

a1

M1

M2

a2

a1

l1

M1

Таким образом, можно сделать следующий вывод: l параллельна а, так как l1 параллельна a1 и l2 параллельна a2.

Выводы

Прямые в пространстве могут быть:

-пересекающимися;