Материал: 5337
F( K, L) =
F(K, L) .
Вобщем случае для любой однородной дифференцируемой
производственной функции со степенью однородности |
справедлива теорема |
|||||
Эйлера, согласно которой выполняется равенство |
|
|||||
|
Y |
K + |
|
Y |
L = F(K, L). |
(1.14) |
|
|
|
|
|||
|
K |
|
|
L |
|
|
Сумма коэффициентов эластичности продукта по факторам называется |
||||||
эластичностью производства E |
|
|||||
E |
EK EL. |
|
|
(1.15) |
||
Из теоремы Эйлера следует, что для производственной функции, удовлетворяющей условию однородности, эластичность производства равна степени однородности производственной функции:
E EK EL = . |
(1.16) |
Производственные системы, в случае коэффициента эластичности масштаба производства E , большего единицы, имеют более высокую эффективность при увеличении масштабов производства. Укрупнение производства при этом дает положительный эффект.
При коэффициенте эластичности масштаба производства E , меньшего единицы, увеличение размеров производства приводит к уменьшению его эффективности. В этом случае уменьшение размеров предприятия влечет положительный результат и увеличивает производительность системы.
При равенстве единице коэффициента эластичности масштаба производства (E
) производственная функция является неоклассической производственной функции и называется линейно-однородной функцией. В этом случае производство инвариантно к изменению масштаба системы и изменение потребляемых факторов приводит к пропорциональному изменению производства продукции.
16
Перейдем к анализу важной проблемы оценки взаимного замещения факторов в производственных функциях, удовлетворяющих условиях (1.1) – (1.4).
Доступность множества технологий позволяет производителю изменять наборы факторов при производстве продукта. Изменение набора факторов приводит в общем случае к изменению количества производимого продукта. Однако существует бесконечное множество различных наборов факторов, которым соответствует одинаковое количество произведенного продукта. Это множество называют изоквантами.
В общем случае множество изоквант образует гиперповерхность равного выпуска продукта. В частном случае набора факторов капитал-труд изокванта образует линию равного выпуска.
Таким образом, изокванта – это геометрическое поле точек, которым соответствует одинаковый уровень выпуска продукции.
По определению изокванты значение производственной функции на изокванте есть постоянная величина. Каждая изокванта характеризуется определенным количеством произведенного продукта. Другими словами, количество выпускаемого продукта не изменяется при перемещении точки набора факторов по гиперповерхности равного выпуска продукта.
Таким образом, возможность взаимного замещения ресурсов означает, что одно и то же количество продукта Y0 может быть произведено при различных сочетаниях ресурсов.
Изокванты в теории производства аналогичны кривым безразличия в теории поведения потребителя. Однако в отличие от кривых безразличия, где суммарное удовлетворение потребителя точно измерить нельзя, изокванты показывают реальные уровни производства. Они обладают теми же свойствами, что и кривые безразличия:
1)изокванты не пересекаются друг с другом, то есть через любую точку на графике можно провести только одну изокванту;
2)изокванта Y0 = F(K, L) = const разбивает неотрицательный ортант пространства ресурсов на два множества, в одном из которых Y < Y0, в другом Y
>Y0, причем граница между этими множествами проходит по изокванте Y0 = F(K, L) = const;
17
3)большему выпуску продукции соответствует в пространстве ресурсов изокванта, лежащая выше и правее другой изокванты, а на плоскости — изокванта, более удаленная от начала координат;
4)в экономической области изокванты имеют отрицательный наклон;
5)абсолютные значения наклона изокванты при движении по ней вправо уменьшаются, она становится более пологой;
6)изокванты не имеют общих точек с осями координат.
Последнее свойство вытекает из первого предположения о свойствах производственной функции.
В случае двухфакторной производственной функции Y=F(K, L) изокванты представляют непрерывные линии на плоскости KL (рис.1.1).
dK
0 dL
Рис.1.1. Изокванта и предельная норма замещения труда капиталом hLK
Уравнение изокванты определяет связь между затратами труда и капитала, которые необходимы для производства заданного количества продукта.
Математически эта связь выражается уравнением
K = f(L,Y).
18
Величина произведенного продукта Y является постоянной для фиксированной изокванты и дает параметрическую зависимость положения изокванты в семействе изоквант.
Перемещение точки затрат вдоль изокванты сопровождается непрерывным замещением фактора L фактором K при постоянном уровне производства продукта Y. Это приводит к необходимости введения нового понятия – предельной нормы замещения факторов производства.
Рассмотрим перемещение точки затрат факторов вдоль изокванты при непрерывном замещении фактора L фактором K. В случае многофакторной производственной функции предполагается, что все остальные факторы производства удерживаются на постоянном уровне. На изокванте выполняется равенство объемов производства в точках (K, L) и (K+dK, L+dL):
F(K, L) = F(K+dK, L+dL).
Продифференцировав функцию F(K, L) вдоль изокванты, получаем
dY= |
Y |
dK + |
Y |
dL =0. |
|
|
|
||||
K |
L |
||||
|
|
|
Экономически это соотношение означает, что если производитель при выборе иного сочетания факторов производства остается на одной и той же изокванте, то прирост объема производства от увеличения L равен уменьшению объема производства от уменьшения затрат K:
- dK |
Y |
= dL |
Y |
. |
K |
|
|||
|
|
L |
||
Таким образом, вдоль изокванты выполняется соотношение
|
|
|
|
F( K ,L ) |
|
|
|
|
dK |
|
|
|
|
|
|
hLK |
|
|
L |
. |
(1.17) |
||
dL |
|
|
F( K ,L ) |
||||
|
|
|
|
|
|||
K
19
Из условия (1.2) получаем, что h 
0, а при строгой положительности предельных эффективностей производственных факторов h > 0. Величина h называется предельной нормой замещения фактора L фактором K.
Предельная норма замещения имеет простую графическую интерпретацию, которая дана на рис.1.1. Величина предельной нормы замещения труда капиталом равна по модулю отношению приращения капитала dK к приращению труда dL. В экономической области изокванты имеют отрицательный наклон из-за отрицательного углового коэффициента касательной к изокванте.
Следовательно, предельная норма замещения по модулю равна угловому коэффициенту касательной к изокванте
hLK = | tg |.
В случае перехода от старой технологии к новой знаки приращений затрат факторов производства различны (dK > 0 и dL < 0). Новая технология характеризуется более высокой капиталовооруженностью по сравнению со старой технологией. Перевооружение производственной системы и переход к новой технологии графически соответствует перемещению из точки B в точку A на рис.1.1. Этот переход из B в точку A вызовет уменьшение затрат труда dL при росте затрат капитала dK. Обратный переход от точки A к точке B приводит к уменьшению капитала dK при увеличении затрат труда dL.
Предельная норма замещения труда капиталом hLK показывает, сколько основного капитала может быть высвобождено при увеличении затрат труда на единицу (и, наоборот, сколько основного капитала необходимо дополнительно ввести при уменьшении затрат труда на единицу), если выпуск продукции необходимо оставить на прежнем уровне.
Абсолютное значение наклона изокванты на разных ее участках выражает предельную норму замены фактора L фактором K, поэтому изокванту можно назвать также кривой взаимозаменяемости.
Поскольку в двухфакторной производственной функции предельная норма замещения h совпадает по модулю с тангенсом угла между касательной к изокванте и соответствующей осью координат (рис.1.1), при движении вдоль изокванты предельная норма замещения не остается постоянной, а зависит от точки, в которой рассматривается производная.
Из графика (рис.1.1) видно, что при движении по изокванте сверху вниз и
20