Материал: 4601
y
Особый случай интегралов – свёртка функций вида 
f x g y x dx . Она по-
0
является, когда находят шансы, что а) двое получат некоторую ожидаемую денежную сумму;
б) запасного колеса хватит для длительной поездки; в) 2 человека успеют выполнить указанную работу;
г) 2 филиала фирмы получат достаточное число заказов; д) 2 предприятия выпустят необходимое количество товара,
и вообще, 2 случайные величины в сумме дадут некоторую указанную величину или превысят её.
Пример. Что надёжнее: взять в 10-дневный поход одну дорогую батарейку со средним сроком работы 20 дней, 2 обычных батарейки со средним сроком работы 10 дней или 4 дешёвых со средним сроком 5 дней?
При помощи свёртки и теории вероятности можно определить, что 1 дорогой батарейки хватит с надёжностью 0,607, т.е. в 61% случаев. Шансы, что хватит 2 обычных батареек, больше: 0,736. Однако 4 дешёвых батарейки хватит с надёжностью 0,855 – они словно подстраховывают друг друга, в отличие от одной дорогой и сверхнадёжной.
Для 20-дневного похода шансы составят 0,368, 0,404 и 0,434 соответственно. Подобную задачу решают капитаны и хозяева судов дальнего плавания.
Так же рискованно нанимать на работу сотрудника с высокой интенсивностью труда, редко болеющего, но одного: если он не сможет работать, его уже никто не заменит.
На рисунке 21 показано распределение времени работы без перерыва для 2 сотрудников (шансы, что они проработают указанное число недель) и распределение совместного времени работы.
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
1 |
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
0,6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
0 |
20 |
40 |
60 |
80 |
|
|
|
|
|
21
Рисунок 21 –Шансы проработать без больничного для 2 сотрудников
На рисунке 22 – другой упрощённый пример свёртки: совместное распределение заработка семьи и распределение разности доходов мужа и жены.
0,4 |
|
|
|
|
Муж |
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
0,4 |
|
|
|
|
Жена |
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разность |
|
|
|
|
|
|
||
0,2 |
Семья |
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
|
-20 |
-15 -10 |
-5 |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
Рисунок 22 – Распределение общего заработка и разности в доходах
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения (ДУ) появляются, когда по скорости изменения некоторой величины (зависящей от каких-либо факторов) надо восстановить зависимость самой величины от тех же факторов. При этом среди факторов могут, помимо прочих, быть и время, и сама величина.
Так, прирост населения пропорционален общей численности населения (хотя темп прироста не меняется). Новость распространяется особенно быстро, если её многие уже знают, но многие ещё не знают. Цена меняется тем медленнее, чем она ближе к равновесной цене. Темп изменения занятости связан с нормой накопления, темп изменения которой в свою очередь зависит от занятости.
Заметив и обосновав, что население растёт пропорционально самому себе, а технологии (и тем самым производство) – только линейно (пропорционально времени), Р. Мальтус фактически построил простейшую дифференциальную модель и доказывал, что попытки государства решить проблемы за счёт прироста населения без заботы о благосостоянии граждан ведут лишь к болезням и преступности (рисунок 23).
22
2 |
|
|
|
|
|
1,8 |
|
|
|
|
|
1,6 |
|
|
|
|
|
1,4 |
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
5 |
9 |
13 |
17 |
21 |
1 |
|
|
|
|
|
0,9 |
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
1 |
5 |
9 |
13 |
17 |
21 |
Рисунок 23 – Технологии, население и их отношение в модели Мальтуса
На рисунке 24 показано распространение новости в замкнутом коллективе при разной интенсивности общения. В городе с населением N 0 распространяет-
ся некоторая новость, и в момент времени t её знает N t
жителей.
Тогда производная |
N t |
– скорость распространения новости. Оказывается, |
N ' t kN N0 N , где |
k |
0 – интенсивность общения. На линии 2 интенсив- |
ность в 2 раза выше, чем на линии 1, но в 2 раза ниже, чем на линии 3. Такие кривые называют логистическими.
3 |
2 |
1 |
Рисунок 24 – Распространение новости при разной интенсивности общения
Так же распространяются эпидемии и строятся финансовые пирамиды: в конце процесса все участники услышали новость, заболели или расстались со сбережениями.
При изучении спроса и предложения самые разные закономерности связывают время, цену на товар, предложение товара производителями и спрос на него.
Когда цена P растёт, предложение S P |
также растёт, но спрос |
D P падает. |
|
Существует (как правило) равновесная цена P* , при которой спрос равен пред- |
|||
ложению, и эта цена – решение уравнения S P D P . |
|
||
На |
рисунке 25 построены кривые |
предложения D P e0,1P |
и спроса |
S P |
8e 0,03P , а также совместная зависимость S D . |
|
|
23
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
S(P) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
D(P) |
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
23 |
25 |
9 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
Рисунок 25 – Спрос и предложение
Равновесная цена P* обычно отличается от начальной и достигается не сразу. Часто цена меняется тем медленнее, чем меньше она отличается от P* . Уравнение имеет вид P
t
k P0 P , где k 0 . На рисунке 26 цена P* 20 .
Слева начальная цена P0 10 , продавцы отказываются продавать товар, и по-
купатель увеличивает цену, но всё осторожнее. Справа P* 80 , товар никто не покупает, и продавец снижает цену, но также боится потерять доход.
Коэффициент k для верхней линии в 2 раза выше, чем для средней, и в 4 раза выше, чем для нижней. Начальная цена занижена в 2 раза. Для графиков справа коэффициенты те же, но линии меняются местами.
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
7 |
10 |
13 |
16 |
19 |
22 |
25 |
28 |
31 |
34 |
1 |
4 |
7 |
10 |
13 |
16 |
19 |
22 |
25 |
28 |
31 |
34 |
Рисунок 26 – Установление равновесной цены |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Если реагировать и на скорость изменения цены, равновесная цена меняется |
|||||
со временем (рисунок 27) и сама подчиняется дифференциальному уравнению. |
|||||
Равновесная цена катастрофи- |
30 |
|
|
|
|
чески растёт, если с ростом самих |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
цен покупатели стремятся скупить |
15 |
|
|
|
|
товар, а производители придержи- |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вают его в надежде заработать в |
5 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дальнейшем. |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 27 – Рост равновесной цены |
||||
24
Если действовать расчётливее и учи- |
11,5 |
|||
тывать, меняется ли цена всё быстрее или |
11 |
|||
|
||||
всё медленнее, появляется уравнение 2-го |
10,5 |
|||
|
||||
|
|
|
|
10 |
порядка. На рисунке 28 равновесная цена |
9,5 |
|||
|
|
|
|
|
стремится к |
P* |
10 и подчиняется урав- |
9 |
|
нению P t |
10 |
e 0,5t cos 2,5t |
sin 2,5t . |
8,5 |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 28 – Стабилизация цены |
Вмодели управления запасами запросы потребителей меняются со временем,
иприходится «угадывать» предстоящие запросы, реагируя не только на уже поступившие, но и на скорость их изменения. Возникает уравнение 2-го порядка.
При правильном подходе объём товара на складе стремится к 0, нет ни дефицита, ни затрат на хранение товара, что очень выгодно (рисунок 29). Если же не реагировать на изменение скорости запросов, дефицит товара будет сменяться избытком, что ведёт к большим штрафам и затратам [4].
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,2 1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
-0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,5 1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 29 – Грамотное (а) и нерациональное (б) управление запасами
Дифференциальные уравнения в теории массового обслуживания помогают в моделировании потоков событий, когда система (например, очередь) может переходить из одного состояния в другое (очередь уменьшается или растёт).
Основная цель такого моделирования – подобрать оптимальные параметры (обычно число терминалов обслуживания), при которых и очереди малы (в идеале отсутствуют), и сотрудники не простаивают.
Пример систем ДУ – моделирование отношений «занятость – потребление», «хищник – жертва», процесса гонки вооружений, миграции населения и подобных явлений, изучаемых в экономике и в социологии. Во всех случаях скорость изменения одного показателя зависит от другого и надо найти, как оба меняются со временем.
25