Материал: 4601

Те же свойства покажут, запасы какого сырья стоит увеличить для существенного увеличения выручки, поможет ли экономия ресурсов, выгодно ли повышать цены на продукцию, и т.д.

Приближённые вычисления, численное решение дифференциальных уравнений и другие сложные действия связаны с переходом к линейной функции.

Тем не менее иногда нелинейность величины важна. Так, издержки Y большого производства квадратично растут при росте выпуска X: y a bx cx2 , и

слагаемым cx 2 нельзя пренебречь. Получается уравнение параболы. Если предприятие выпускает 2 вида продукции, получаются 2 функции издержек.

На рисунке 2 слева построены параболы – графики издержек производства на 2 предприятиях. В центре видны части эллипсов – линий уровня, где совместные издержки одинаковы. Справа даны фрагменты гипербол – линий, на которых издержки отличаются на одинаковую величину.

Рисунок 2 – Издержки предприятий и линии уровня для совместных издержек

Если искать совместные издержки работы нескольких (3 и более) предприятий, возникают квадратичные формы, геометрически задающие некие поверхности в многомерном пространстве – эллипсоиды и гиперболоиды. Работа с такими функциями (например, поиск минимума) сложна, и всегда стараются сгруппировать показатели, для чего применяют собственные числа и векторы.

Кривые 2-го порядка появляются, если изучать зависимость выпуска продукции от вложенных средств или полезность некоторого товара или услуги. Выпуск растёт медленнее, чем инвестиции, а ценность товара – медленнее, чем его объём, и возникают функция типа y x или y 3 x .

Кривые безразличия (линии одинаковой полезности) в теории потребления и изокванты (линии равного выпуска) в теории фирмы обычно обладают свойствами гиперболы – выпуклы вниз и убывают (рисунок 3).

6

Обратите внимание на резкий рост графиков при приближении к вертикальной оси: отсутствие 1-го товара трудно компенсировать приобретением 2-го.

Умение построить эллипс или гиперболу по уравнению помогает быстро решить графически задачу о максимальной выручке, когда аналитическое решение громоздко и мало эффективно.

Другие элементарные функции

Функции sin и cos нужны для изучения периодических и циклических процессов, при наличии сезонной составляющей в спросе на товар, занятости и т.д.

Инвестиции в моделях макроэкономики часто пропорциональны разности выпуска за 2 года: очевидно стремление вложить средства во что-то перспективное. Если такое стремление имеет место при малых запросах потребителей, выпуск ведёт себя как затухающая синусоида (рисунок 4, а). При слабой реакции на изменение выпуска (или при большом спросе) выпуск превращается в сумму показательных функций и стремится к постоянной величине (рисунок 4, б).

а) высокая склонность к инвестициям; б) низкая склонность к инвестициям

Рисунок 4 – Выпуск продукции в модели Самюэльсона – Хикса

7

Функция tg больше связана с эластичностью величин с сезонными составляющими, когда выясняют, например, процент изменения занятости при изменении нормы потребления на 1% (или наоборот).

Во многих процессах скорость изменения величины пропорциональна самой величине. Это рост населения (рисунок 5), рост экономики при инвестициях, зависящих от выпуска (модель Харрода, [6]), распространение информации и т.п. Здесь важна показательная функция e x .

Рисунок 5 – Рост населения за 10 лет при темпах прироста 1,5% (1) и 3% (2)

Множитель e x учитывает обесценивание денег (рисунок 6), старение оборудования или важность немедленного дохода по сравнению с перспективным.

Рисунок 6 – обесценивание денег за 3 года при инфляции 10% (1) и 30% (2) в год

С функцией e x связаны время работы сотрудника до болезни и время работы бытовой техники до поломки. На рисунке 7 отражена ситуация, когда 1-й сотрудник болеет в среднем 2 раза в год, 2-й – 1 раз в год, 3-й – раз в 2 года. По горизонтали – число месяцев.

Рисунок 7 – Шансы проработать без больничного листа для 3 сотрудников

8

Очевидно, что при решении указанных задач появляются и обратные тригонометрические функции типа arctg или логарифмическая функция ln. Логарифмическая функция нужна для моделирования распространения информации (в том числе рекламы), эпидемий и деятельности финансовых пирамид.

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных появляются, когда интересующий нас показатель зависит от разных факторов. Таковы, например, функции полезности и производственные функции (ПФ).

В 1960 – 95 гг. выпуск ВВП США (в млрд долл.) составлял Y 2,248K 0,404L0,803 , где K – фонды, млрд долл., L – трудовые ресурсы, млн чел. [4]. Таким образом, объём выпуска – функция от имеющихся фондов (капитала) и затрат труда. На рисунке 8(а) построен её график в виде поверхности, а на рисунке 8(б) – в виде изоквант (линий одинакового выпуска ВВП) c шагом 2 трлн долл.

Рисунок 8 – Выпуск ВВП США

Выпуск ВВП обычно задаётся функцией Кобба – Дугласа Y A0 K L , где K –

фонды производства, L – затраты труда, , – эластичность по фондам и труду соответственно. Параметры A0 , , различны для разных стран и секторов эко-

номики. От соотношения параметров зависит оптимальное распределение ресурсов по секторам (когда ищется максимум среднедушевого потребления).

где X ,Y , , Z – запасы сырья, а X 0 ,Y0 , , Z0 – нормы расхода сырья на 1 ед. про-

дукции. Такая зависимость (функция Леонтьева) имеет место, если ресурсы не заменяют друг друга (как доски, ткань, краска и гвозди). График и изокванты функции Леонтьева приведены на рисунке 9.

9

Рисунок 9 – Типичная функция Леонтьева

Для ПФ находят такие показатели, как средняя и предельная эффективность капитала и труда, фондоёмкость и трудоёмкость, эластичность по ресурсам, удельный выпуск, темпы прироста выпуска, нормы замещения труда капиталом (и наоборот), эластичность замещения. Слово «предельный» в названии показателя означает, что от показателя берётся производная по времени или некоторому фактору (ресурсу).

В известной задаче об оптимальном выпуске с увеличением выпуска продукции растёт выручка предприятия, но это требует всё новых закупок ресурса и увеличения выплат сотрудникам. С некоторого момента затраты растут быстрее выручки и прибыль падает (рисунок 10).

Матрицы и системы линейных уравнений

Матрицы позволяют компактно хранить большие объёмы информации, когда несколько объектов характеризуются одинаковыми признаками. Это могут быть оценки за сессию в группе, затраты сырья для разных товаров, сведения о продуктах питания и т.д. Когда над значениями признаков выполняют одни и те же действия, удобно сразу работать со всей матрицей.

Кроме того, матрицы незаменимы при решении больших систем линейных алгебраических уравнений и задач линейного программирования.

10