Материал: 4601

Пример 1. В таблице 1 указан выпуск продукции 2 цехами и некоторые сведения о затратах ресурсов и труда

Таблица 1 – Сведения о выпуске продукции

Представив данные в виде матриц, при помощи умножения матриц можно быстро найти затраты для каждого цеха:

При появлении сведений о 3-м цехе в левой части таблицы 1 добавится 3-я строка. Её достаточно умножить на матрицу в правой части.

Для новой статьи расходов в правой части таблицы возникнет новый столбец. На него умножим матрицу выпуска. Результаты, полученные ранее, в обоих случаях не изменятся.

Если же начать выпуск 3-го товара, в каждой клетке 3-й таблицы лишь добавятся соответствующие произведения по каждому цеху и виду затрат.

Системы линейных уравнений в общих чертах связаны с 2 типами задач:

1)найти оптимальный набор данных, отвечающих некоторым условиям;

2)восстановить данные по известным значениям их линейных комбинаций. Задачи 1-го типа появляются в методах оптимизации для нескольких показа-

телей, например, когда затраты или прибыль предприятия зависят от работы партнёров или конкурентов [3].

На рисунке 11 издержки зависят от выпуска товара как на одном предприятии, так и на другом. Издержки 1-го f x; y 2x2 3xy 10x 1000 , а издержки 2-

го – g x; y 3y2 xy 20 y 500 , где x и y – выпуск товара на 1-м и 2-м предприятиях соответственно.

Если предприятия хотят начать выпуск с минимальными совместными издержками, при помощи дифференцирования функции 2 переменных составляется и решается система уравнений. Общие издержки минимальны, когда 1-е предприятие выпускает 17,5 ед. продукции, а 2-е – 15 ед.

11

5)распределение площади под разные культуры («игры с природой»);

6)выпуск продукции при неизвестном состоянии ожидаемого спроса.

Задачи допускают усложнения, дополнительные условия, но могут при этом превратиться в задачи выпуклого или динамического программирования [6].

В теории случайных процессов при помощи матриц предсказывают состояние некой системы через определённое время, в том числе сколь угодно большое.

Пример 2. При ставке 20% банк через год в 10% случаев её оставит, а в остальных 90% – повысит до 30%. При ставке 30% банк в половине случаев её оставит, в половине – понизит до 20%.

Требуется предсказать вероятность ставки 20% через 3 года и в долгосрочной

ковой вероятностью 0,5.

Ответ: через 3 года вероятность ставки 20% – соответственно 0,316, 0,380 и 0,348. Через много лет – 0,357 независимо от нынешнего состояния.

Клиент может выбрать подходящий кредит или банк, а банк – проводить более привлекательную и в то же время выгодную политику.

Так же можно предсказывать покупательский спрос, урожайность (на основе статистических данных), состояние автомобиля и т.п. Для решения этих задач перемножают матрицы состояний или находят их собственные векторы.

Особо важный случай систем – задача о межотраслевом балансе (модель Леонтьева «затраты – выпуск»), когда по конечному потребительскому спросу определяют общий объём производства. Это важно, поскольку спрос связан с общим доходом (прибылью), а общий объём – с затратами электроэнергии, сырья, оплатой труда и т.д. Модель Леонтьева давно сформировалась в особый раздел экономической теории и невозможна без работы с огромными наборами данных.

На основе модели в 1930-х гг. оценено влияние занятости, зарплат и цен на общий выпуск продукции в отраслях промышленности США, а в 1950-х гг. экономисты Гарварда изучали, как инфляция, регулирование зарплаты труда и затраты на вооружение меняют необходимые капиталовложения.

Системы с бесконечным множеством решений появляются в задачах: а) с малым числом ограничений; б) с ограничениями, дублирующими друг друга;

13

в) с линейным обменом и подобных им.

Пример 3. Страны А, Б и В договорились обмениваться частью ВВП. Страна

Аотдаёт 20% ВВП стране Б и 30% стране В. В свою очередь Б 10% ВВП отдаёт

Аи 40% – В. Наконец, В отдаёт А и Б 25% и 15% соответственно.

Оказывается, для возможности такого обмена следует производить ВВП в пропорции 28:25:46. Также по пропорции выпуска можно определить пропорции обмена, или найти недостающие данные по известным процентам и пропорциям.

Матрицы корреляции в статистике показывают, сильна ли зависимость между некоторыми признаками. При помощи собственных чисел и собственных векторов исходные простые признаки группируют в несколько общих. Это упрощает расчёты и делает их более надёжными. Причём связь между исходными и новыми признаками также задаётся матрицей, а в факторном анализе дополнительно возникают матрицы вращения.

Пример 4. При анкетировании по системе «да/нет» работодатель средствами факторного анализа может обнаружить, что практически все кандидаты:

а) на 1-й, 3-й, 7-й и 10-й вопросы отвечают одинаково; б) на 4-й и 8-й вопросы обычно отвечают иначе, чем на указанные выше; в) на 9-й вопрос отвечают не так, как на 5-й;

г) на 6-й отвечают «да», если одинаково ответили на 2-й и 1-й.

Разумно из 1-го, 3-го, 7-го и 10-го вопросов оставить один (любой, желательно самый простой), 4-й, 6-й и 8-й исключить, а из 5-го и 9-го оставить один.

Пример 5. Изучая оценки школьников по 12 предметам, учитель замечает, что практически вся информация сводится к 2 показателям: общей успеваемости и склонности к точным наукам. Тогда при помощи факторного анализа он сможет сопоставить любому школьнику точку в системе координат из этих 2 показателей и получить простую и наглядную картину вместо громоздких таблиц.

В кластерном анализе при помощи матриц задают расстояния между объектами, а затем объекты собирают в группы, заметно отличающиеся между собой.

Вообще, при обработке и упрощении сложных структур: а) в виде матриц оформляют исходные данные;

б) при помощи матриц корреляции выполняют необходимые вычисления (весьма сложные, основанные на методах алгебры и теории вероятности);

14

в) по матрицам нагрузок определяют, какие данные меняются одинаково. Относительно отвлечённое понятие ранга матрицы необходимо при иссле-

довании систем эконометрических уравнений, когда находят сложные связи между несколькими временными показателями.

Пакеты прикладных программ типа EXCEL и QM содержат операции над матрицами, что позволяет быстро обрабатывать информацию и решать задачи, в том числе системы уравнений (например, методом обратной матрицы).

Пределы функций

Пределы сами по себе – вспомогательное средство в математике: на них основан весь математический анализ и любые разделы, связанные с переходом к непрерывно меняющимся величинам.

Тем не менее 2-й замечательный предел появился при решении прикладной задачи о начислении процентов и помогает узнать, например, сколько средств

а) выплатить вкладчику при обращении в произвольный момент времени; б) будет на счёте через большой срок.

Втеоретических исследованиях по пределам вычисляют темп роста величины в разные моменты времени, если известно её изменение за длительный срок.

Пределы помогают предсказать поведение некоторой величины в критических условиях – например, изменение занятости при крайне малом росте оплаты труда, когда функция теряет смысл при аргументе, равном 0.

Вдинамических моделях макроэкономики выпуск продукции и связанные с ним показатели нередко стабилизируются со временем, если неизменны технологии и пропорции капиталовложений (происходит застой в экономике). Пределы позволяют предсказать объёмы стабильного выпуска и потребления, например, в моделях Кейнса (рисунок 12), Самюэльсона – Хикса, Солоу [4].

15