Материал: 4601

Рис. 12 – ВВП в модели Кейнса в зависимости от нормы потребления

В паутинообразной модели рынка при помощи пределов находят равновесную цену, при которой спрос на товар равен предложению.

На рисунке 13 показано, как для типичных функций спроса и предложения достигается равновесная цена (в примере она равна 1,31) при начальной предложенной цене 1,5. По горизонтальной оси на рисунке 13 (а) отмечена цена, на остальных – время.

в) поиск равновесия г) непрерывный диалог Рисунок 13 – Установление равновесной цены в паутинной модели

Последний рисунок соответствует непрерывному поиску равновесной цены, когда достигнутая цена тут же пересматривается.

Дифференцирование функций

Производная функции показывает, во сколько раз результат меняется быстрее, чем объясняющий его фактор. Так, если D f P – зависимость спроса на товар от цены, то Df P– изменение спроса при изменении цены на 1 ед.

В экономике важны также темп прироста и эластичность, позволяющие нейтрализовать влияние единиц измерения на показатели роста.

16

При помощи производной решают задачи оптимизации. Максимум функции достигается там, где производная равна 0, и тогда оптимизация сводится к поиску корня производной (и к решению уравнения, как правило, нелинейного).

Известные примеры переменных, функций и соответствующих производных: а) число работников, объём выпуска и производительность труда; б) время, объём выпуска и производительность труда по времени;

в) цена, спрос (предложение) и скорость изменения спроса (предложения); г) выпуск, издержки и предельные издержки выпуска; д) запас сырья, выручка и рост выручки при увеличении запасов.

На рисунке 14(а) цена товара уменьшается с ростом выпуска. Чтобы выручка стала больше, следует выпускать всё больше товаров, но они становятся всё дешевле. Надо найти оптимальный объём выпуска, при котором выручка максимальна. Решение находится дифференцированием выручки по цене. На рисунке 14(б) выручка достигает максимума 183 ед. при выпуске 20 изделий.

а) цена изделия б) выручка для разного выпуска Рисунок 14 – Поиск оптимального объёма выпуска

На рисунке 15(а) при увеличении затрат сырья выпуск продукции растёт, но всё медленнее, соответственно всё медленнее растёт выручка. На рисунке 15(б) цена сырья (даже с учётом возможных скидок) растёт почти линейно.

17

Рисунок 15 – Рост выручки и расходов при изменении затрат сырья

При некоторых затратах прибыль как разность выручки и затрат достигает максимума и начинает убывать, как на рисунке 16 (а).

а) прибыль б) предельная прибыль Рисунок 16 – Прибыль и предельная прибыль при изменении затрат сырья

При достижении максимума прибыли её производная становится отрицательной, а предельная выручка совпадает с ценой сырья.

Точка, где получается решение задачи оптимизации, нередко имеет важный экономический смысл. Так, прибыль может зависеть от взятого кредита, от числа сотрудников или от инвестиций. Тогда она максимальна, когда её производная (доходы от увеличения производства) равна:

а) в 1-м случае – процентной ставке; б) во 2-м случае – ставке оплаты сотрудника;

в) в 3-м случае – стоимости 1 ед. фондов (например, 1 станка).

Производная от прибыли соответственно берётся по капиталу, числу сотрудников и объёму капиталовложений.

Полезность набора товаров при фиксированном бюджете максимальна, когда прирост полезности по всем товарам одинаков, и т.д.

Интегрирование функций

Интегралы в экономических приложениях возникают в 3 основных случаях, которые можно пояснить следующими примерами:

1) поступление вкладов в банк меняется в течение месяца, и надо найти об-

18

2) изменение спроса замедляется с ростом цены, и надо найти зависимость самого спроса от цены ( D Pf P , найти D P ), (рисунок 18);

3) новость распространяется особенно быстро, когда её знает каждый 2-й (найти N t , если N t kN N0 N ), (рисунок 19).

Во 2-м и 3-м случаях речь идёт о точном решении дифференциального уравнения. Оно невозможно без интегрирования функций.

Рисунок 17 – Поступление средств и накопленная сумма

Рисунок 18 – Скорость падения спроса и спрос при разной цене

Рисунок 19 – Скорость распространения новости и число знающих её

При помощи интегрирования удобно изучать процессы с непрерывным обесцениванием денег, падением полезности или старением оборудования.

Например, компьютер морально стареет, хотя и работает так же качественно. Для учёта удобства работы на нём можно ввести дисконтный множитель –

19

том удобства работы, а 2 интеграла позволят сравнить 2 компьютера.

При выборе стратегии оптимального накопления, когда определяют баланс между инвестициями и потреблением на срок T, излишнее потребление в начале срока приведёт к «проеданию фондов», и производство не удастся развивать. Однако товар или услуга в будущем не так интересны, как в данный момент.

T

Решить проблему поможет задача at u c t dt max , где управляющий пара-

0

метр c t– потребление, u c– полезность от потребления, t – время [4].

Так же учитывают действие инвестиций, дающих эффект через некоторое время и по частям [4], и обесценивание денег.

Пример 1. Мы взяли в кредит 200 тыс. руб под 20% годовых и договорились ежемесячно, начиная со следующего месяца, выплачивать 10 тыс. руб. Через какой срок кредит будет выплачен?

На рисунке 20 слева показано, как обесцениваются деньги с точки зрения банка. Очевидно, 20 месяцев для выплаты недостаточно. Справа показано, насколько сумма, выплаченная с точки зрения банка (линия 1), отличается от суммы, выплаченной номинально (линия 2). Кредит будет погашен через 26 ме-

Рисунок 20 – Выплаты по кредиту: обесценивание и накопление

20