Материал: 1944

a

В ПРОСТРАНСТВЕ

прba b

Системы координат в пространстве

Z

O −

начало

коор-

динат;

M x,y,z

OX

− ось абсцисс;

z

OY

− ось ординат;

O

y

Y

OZ

−

ось

x

аппликат;

x,y,z − коор-

X

динаты точки M

Цилиндрическая система координат

Z

M r, ,z

r − длина радиуса-

вектора

проекции

x rcos ,

z

точки

M

на

Y

плоскость

XOY ;

O

y rsin ,

r

− угол, образован-

z z

ный

радиус-век-

r 0, 0 2 , z R

X

тором

M

проекции

точки

с

осью

OX ;

z

−

аппликата точки M ; r, ,z − координаты точки M

Сферическая система координат

Z

M r, ,

O − начало координат;

r

r − длина радиуса-

x rcos sin ,

z

вектора точки M ; −

Y

угол,

образованный

O

y rsin sin ,

радиус-вектором

z rcos

проекции

точки

M с

X

осью OX ; −

угол

r 0, 0 2 , 0

отклонения

радиуса-

вектора

____

от оси

OM

OZ ; r, , − координаты точки M

Способ задания

Вид уравнения

Уравнение плоскости, про-

A x x0 B y y0 C z z0 0

ходящей

через

точку

M0 x0,y0,z0 ,

перпендику-

N A,B,C

лярно вектору N A,B,C .

M0

Вектор

N A,B,C

−

нормальный вектор плоскости

Общее уравнение плоскости

Ax By Cz D 0, где

A2 B2 C2

0

x

y

z

1, где a,b,c 0

a b

c

Уравнение плоскости

Z

c

«в отрезках»

b

Y

a

X

x x1

y y1

z z1

Уравнение плоскости,

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0

проходящей через три данные

x3 x1

y3 y1

z3 z1

точки M1 x1, y1,z1 ,

M2 x2, y2,z2 , M3 x3, y3,z3

M1

M3

M2

M

Уравнение

плоскости,

проходящей

через

точки

x x1

y y1

z z1

M1 x1, y1,z1 ,

M2 x2, y2,z2 ,

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0

параллельно

вектору

а (ах ,ay ,az )

ax

ay

az

Положение плоскости и

Поясняющий рисунок

вид общего уравнения

Плоскость параллельна

Z

координатной оси

Y

OX : By Cz D 0( A 0)

OY : Ax Cz D 0(B 0)

X

OZ: Ax By D 0(C 0)

By Cz D 0

Z

Плоскость проходит через начало

координат

Y

Ax By Cz 0(D 0)

X

Плоскость параллельна

Z

координатным осям

OX и OY: Cz D 0 ( A B 0)

Y

OX и OZ: By D 0

( A C 0)

X

OY и OZ: Ax D 0

(B C 0)

Cz D 0

Z

Плоскость проходит через ось

OX: By Cz 0 ( A D 0)

Y

OY: Ax Cz 0

(B D 0)

OZ: Ax By 0

(C D 0)

X

By Cz 0

Z

Уравнения координатных

плоскостей

Y

XOY: z 0( A B D 0)

XOZ: y 0 ( A C D 0)

X

Взаимное расположение плоскостей

Условия расположения плоскостей

Расположение плоскостей

A1x B1y C1z D1 0

A2x B2y C2z D2 0

Параллельность

N1 (A1,B1,C1), N2 (A2,B2,C2)

N2

N || N

A1 B1 C1 .

1

2

A2

B2

C2

N1

В частности, если плоскости

совпадают, то

A1 B1 C1 D1 .

A2

B2

C2

D2

Перпендикулярность

N2

N1 N2 A1A2 B1B2 C1C2 0

N1

Пересечение под углом

A1A2 B1B2 C1C2 0

cos

N1 N2

N1 N2

A1A2 B1B2 C1C2

B2

C2

A2 B2 C

A2

2

1

1

1

2

2

2

Способ задания прямой

Вид уравнения

Векторное уравнение прямой, проходящей

через точку М параллельно

заданному

вектору s .

M0

s

M

r r0

t s

Канонические

уравнения

прямой,

x x0

y y0

z z0

проходящей

через

точку M0 x0, y0,z0 и

p

параллельно вектору s m,n,

p

m

n

Параметрические

уравнения

прямой,

x x0

mt,

проходящей

через

точку

x0, y0,z0

nt,

y y0

параллельно вектору s m,n,

p

pt

z z0

Прямая как линия пересечения двух

непараллельных

плоскостей

(общие

уравнения прямой)

A x B y C z D 0,

1

1

1

1

2

A2x B2 y C2z D2 0,

1

где

N1 N2 0

l

l 1 2

Уравнение

прямой

через

две

точки

x x1

y y1

z z1

M1 x1, y1,z1 и M2 x2, y2,z2

z2 z1

x2 x1

y2 y1