Материал: 1944

Основные понятия

Геометрическое

изображение

____

Вектор AB (а) − направленный прямолинейный

В

отрезок,

A − начало вектора,

B − конец вектора.

а

____

BA (–а) − вектор, противоположный к вектору

A

____

____

____

AB (а).

AB BA (a a)

а и b – коллинеарные векторы ( а││b), если они лежат

b

на одной прямой или на параллельных прямых.

а

Коллинеарные векторы

могут

быть

сонаправленными

(a b) или противоположно направленными (а b)

a b

a

− длина или модуль вектора. Если

a

0, то a 0 −

а

1, то a e − единичный

нулевой вектор, если

a

вектор. a

0

a

1.

a0

− орт вектора а, если a а и

a

b

,

а

d b,

а и b –

равные векторы (a b), если

d

b

a c

a b.

с

(a c)

а,b и с

– компланарные, если они лежат в одной

а

b

плоскости или в параллельных плоскостях

с

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b,c

с

образует правую (левую) тройку,

если с конца вектора с

а

b

кратчайший поворот от

а к

b виден

совершающимся

Правая тройка

против часовой стрелки (по часовой стрелке)

Линейная комбинация векторов a1, a2,...,an имеет вид

Базис на плоскос-

ти (в R2)

образу-

1a1 2a2 3a3

... n an , где 1, 2, ..., n – коэффици-

ют два неколли-

енты разложения. Система векторовa1, a2,...,an

– линейно

неарных вектора

a и a ,

в R3 –

независима, если 1 a1 ... n an

0 1... т

0.

1

2

три некомпла-

Система n линейно независимых векторов образует базис

нарных вектора

в n-мерном пространстве

a1, a2

и a3

Векторы и координаты

Основные

Рисунок

Определения и

понятия

свойства

_____

а

A1B1 , а OX

прx а

_____

,а OX

пр

а

A B

1

x

X

1

Ортогональная

Ортогональная

проекция

проекция

пр

а а сos a

;

вектора на ось

х

x

прx (а b)

прx а прxb;

Ортонормиро-

прx а прx а

i, j, k

–

орты

ванный базис

координатных

осей

i; j;k

Z

i j k

i j k 1

Направляю-

Свойство

щие косинусы

M 3

cos2 cos2

соs , cos , cos

2

cos 1

Координаты

A

ax

прха a cos ,

вектора ав

M

а

базисе i; j;k

B

ay

прy a a cos ,

az

прz a a cos .

Разложение

а ОМ1

ОМ2 ОМ3

вектора по

M 2

базису i; j;k

k

j

Y

ахi ay j azk

Длина вектора

j

a

ax

2 ay

2

az

2

M1

X

Координаты

A(x1, y1,z1);

B(x2 , y2 ,z2 );

вектора

AB (x2 x1,y2 y1,z2 z1)

Линейные операции над векторами

Выражение в

координатах:

Операция

Определение и

a ax i ay j az k

свойства

b bx i by j bz k

c cx i cy j cz k

Сложение a b

Равенство векторов:

Правило

ax

bx,

параллелограмма

by,

a b ay

а b

с а b;

bz.

а

az

b

a b b a;

c а b (ax bx)i

(a b) с a (b c);

(ay by ) j (az bz )k ,

a b 0 a b

Правило

сx

ax bx,

треугольника

т.е.

c

a

y

b

y

,

y

b

az

bz

cz

Вычитание a–b

c a b (ax

bx )i

а

a–b

(ay by ) j (az bz )k ,

с а b а ( b)

сx ax bx,

т.е.

c

a

y

b

y

,

b

y

az bz

cz

Умножение на

а c: с||a,

c а ( ax)i ( ay)j ( az)k,

число a

с a при 0;

с

x

a

x

,

а

а

a

,

c

y

с a при 0.

т.е. y

а

а

a a ;

az ,

cz

0

0

( a) ( )a;

коллинеарность векторов:

a

ay

a

(a b) a b;

a||b

x

z

bx

by

bz

( )a a a

a b b a;

a b b a;

a,b,c b,a,c ;

(a b)c ac bc;

(a b) c a c b c;

( a)b (ab)

( a) b (a b)

a,b,c a,b,c

Геометрические свойства

cos

a

b

;

a

a a ;

Sпараллелограмма

a b

Vпараллелепипеда

a,b,c

a

b

Sтреугольника

a b

a,b, c – правая (левая)

a b

прa b

тройка, если (a, b, c) 0

2

((a, b, c) 0)

a

Физические свойства

Работа постоянной силы

Момент силы относительно

–

A F S

____

точки O: M OA F

Условие равенства нулю

a,b,c 0 a,b,c–

a b 0 a b

a||b a b 0

компланарны

Выражение в декартовых координатах

a b axbx ayby azbz

i

j

k

a,b,c

ax

ay

az

a b

ax

ay

az

bx

by

bz

bx

by

bz

cx

cy

cz