Материал: 1944

a11x1

a12x2

... a1n xn

b1,

a22x2

... a2nxn

b2 ,

a21x1

Общий вид

.............................................

x

a

x

... a

x

b

,

a

m1

m2

2

mn

n

m

1

где aij − коэффициенты системы;

b1,b2 ,...,bm − свободные члены; х1,х2,...,хn

– неизвестные

a

a

...

a

11

12

1n

Матрица системы

a21

a22 ...

a2n

A

...

... ...

...

am2 ...

am1

amn

x

1

A X B,

где

X

x2

−

матрица-

...

x

n

СЛАУ в матричной форме

b

1

столбец

из

неизвестных

xi .

B

b2

−

...

bm

матрица-столбец из свободных членов bi

____

Совокупность чисел xi

i

, i 1,n ,

которые обращают все уравнения системы

Решение СЛАУ

в тождества.

Каждое решение СЛАУ – частное

решение. Совокупность всех частных

решений – общее решение

Признак

Название

Определение

По

Совместная

Имеет хотя бы одно решение.

Несовместная

Не имеет решений.

количеству

Определенная

Имеет одно решение.

решений

Неопределенная

Имеет бесконечно много решений

Однородная

В=0 (все bi 0). Всегда совместна,

так как

По виду

нулевое

(тривиальное)

решение (т.е.

x1 x2

... xn 0)

является решением

правой части

однородной системы

Неоднородная

В 0

Вырожденная

a11

a12 ...

a1n

По значению

A

a21

a22 ...

a2n

0

А

для

... ... ... ...

an1

an2 ...

ann

случая m n

Невырожденная

А

0

Обратная матрица и ее нахождение

A 1 − обратная матрица к A a

, если A A 1

A 1 A E .

ij

n,n

Этапы решения

П р и м е р

Если A

a

a

Вычислить

11

12

, то

определитель матрицы.

Если

a21

a22

a11

a12

A

0, то A 1

не существует

A

=a11 a22

a12

a21

a21

a22

~

Составить

матрицу

где

Aij

−

~

a22

a21

A Aij ,

A

A =

алгебраические

дополнения

ij

a12

a11

элементов aij

матрицы A

~

~

T

=

a

22

a

AT

A

12

Транспонировать A

ij

a

a

21

11

Записать обратную матрицу

1

1

~

T

1

a22

a12

1

1

~ T

A

A =

A

A

A

a11a22 a12a21 a21

a11

A

Метод решения

П р и м е р

Решение невырожденной СЛАУ

x 2y 3z 6,

по формулам Крамера (m=n)

1

2

n

4x 5y 6z 9,

x

,

x

2

, ...,x

n

,

7x 8y 6.

1

1

2

3

где – определитель СЛАУ 0 ;

4

5

6

27,

i

− определитель, полученный из

7

8

0

определителя системы заменой i-го

6

2

3

столбца столбцом свободных членов

x

9

5

6

54,

6

8

0

1

6

3

y

4

9

6

27,

7

6

0

1

2

6

z

4

5

9

54,

7

8

6

x

54

2, y

27

1, z

54

2

27

27

27

Решение невырожденной СЛАУ

x 2y 3z 6,

матричным способом (m=n)

AX B

X A 1 B

4x 5y 6z 9,

7x 8y 6.

1

2

3

6

A 4 5

6 , B 9

7

8

0

6

1

48

24

3

A

1

42

21

6

27

3

6

3

x

16/9

8/9

1/9

6

2

7/9

1

y

14/9

2/9

9

1/9

2/9

2

z

1/9 6

Окончание таблицы

Метод решения

П р и м е р