Материал: 1360

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

так: если элемент твердого деформируемого тела находится в равновесии, то полная работа всех приложенных к нему сил на возможных перемещениях равна нулю. Следовательно, полная работа всех внешних и внутренних сил состояния 1 на возможных перемещениях состояния 3 должна быть равна нулю. При этом знак возможной работы внутренних сил берем «минус», так как рассматриваем процесс нагружения балки.

Из выражения (2.20) с учетом (2.12), (2.11) и (2.23) получим выражение для вычисления коэффициента жесткости k13:

l
k13 = ∫EJ N1" N3"dx .	(2.24)
0

После подстановки в подынтегральное выражение (2.24) зави-
симостей для N1" и N3" из (2.22) и последующего интегрирования по-
лучим						Д
				А
				k13			12EJ И
				k13	= −		l3	.	(2.25)
		б
По аналогии с формулой (2.24) запишем выражение для произ-
	и
вольного коэффициента kij				алочного элемента постоянной жестко-
сти EJ:	С
	С		kij =		l	EJ Ni" N "j dx .			(2.26)
			kij =		∫	EJ Ni" N "j dx .			(2.26)
					0

При вычислении интегралов в формулах (2.24) и (2.26) необходимо произвести замену переменной интегрирования dx на dξ и пределов интегрирования [0, l] на [0,1]. При этом должно быть учтено равенство dx=ldξ .

Если в формуле (2.26) индексы i, j поменять местами, то результат не изменится. Это свидетельствует о том, что коэффициенты

жесткости обладают свойством взаимности:
ki j = k ji ,	(2.27)

а матрица жесткости симметрична относительно главной диагонали.

2.5. Приведение нагрузки на элементе к узловой

Если внешняя нагрузка, действующая на элемент, приложена не в узловых точках, то ее необходимо заменить статически эквивалентными узловыми силами. Эти узловые силы формируют вектор

{Р}.

Для элемента, изображенного на рис. 2.4,в, вектор узловых сил

имеет вид
	R
		1P
{P}	R2P				(2.28)
{P}	=	R	.		(2.28)
		R
		3P		И
	R			И
		4P
		Д

Для определения узловых сил воспользуемся теоремой о взаимности работ. Рассмотрим процедуру нахождения узловой силы Rlp. Для этого исследуем два состояния балочного элемента: единичное состояние 1 (рис. 2.4,а) и грузовое состояние Р (см. рис. 2.4,в).

В грузовом состоянии Р на балочный элемент действует сосредоточенная сила Р в сечении х = а и узловые силы, записанные в ви-

де вектора (2.28). Все узловые перемещения в грузовом состоянии
		А
отсутствуют, т.е. ∆j= 0 (j=1...4).			1 на балочный элемент действуют
В единичном состоян			1 на балочный элемент действуют
	б
только узловые с лы, зап санные в виде вектора (2.7). Перемещения
здесь следующие: ∆1 = 1, ∆2 = ∆3 = ∆4 = 0, а также
и
С	w(a)		= N1(a).	(2.29)
С
Работа внешних сил состояния Р на соответствующих им пе-
ремещениях состояния 1
4
AP1 = ∑RiP ∆i + P w(a)= R1P ×1 + PN1(a).				(2.30)
i=1

Работа внешних сил состояния 1 на соответствующих им узловых перемещениях состояния Р

A1P = ∑ri1 ∆i = 0 . (2.31)

i=1

Подставив соотношения (2.30) и (2. 31) в выражение теоремы взаимности работ (теоремы Бетти)

AP1 = A1P ,	(2.32)
получим
R1P = −PN1(a).	(2.33)
По аналогии может быть получена формула приведения
сосредоточенной нагрузки на элементе к узловой:
И
R iP = −PNi (a), i = 1,…,4.	(2.34)

Для приведения распределенной нагрузки на элементе к узло-

вой (рис. 2.5,а) выделим бесконечно малый участок стержня длиной
А	q будем считать
dx, в пределах которого распределённую нагрузку

постоянной. Заменяя в пределах этого участка распределённую на-
грузку элементарной сосредоточеннойДсилой, равной qdx (рис.
2.5,б), воспользуемся формулой (2.34). В результате получим выра-
и
жение для элементарной узловой силы:
С	бdR = −qdxN			(x).	(2.35)
		iP	i

Рис. 2.5. Приведение распределенной нагрузки на балочном элементе к узловой

Полное значение узловой силы получим, интегрируя выражение

(2.35):

a2
R iP = − ∫qNi dx.	(2.35)
a1

При действии на балочный элемент сосредоточенного момента в сечении х = а (рис. 2.6,а) заменим момент М двумя сосредоточенными силами Р, расположенными на расстоянии da одна от другой и направленными навстречу друг другу (рис. 2.6,б). Между силами и

моментом соблюдается зависимость P = M da .

						И
					Д
			А
		б
Рис. 2.6. Приведение сосредоточенной
моментной нагрузки на балочном
		элементе к узловой
и
Используя зав с мость (2.34) отдельно для каждой из сил, а
С
затем суммируя, пр ход м к выражению
R		= M	N	(a)	− M	N	(a +da).	(2.37)
	iP	da	i		da	i
Учитывая, что Ni (a +da)− Ni (a)= dNi и вводя обозначение
				dNi	= Ni′	,		(2.38)
				da
выражение (2.37) представим в следующем виде:
		RiP	= −M Ni′(a).					(2.39)
				29

2.6. Вывод разрешающих уравнений МКЭ из принципа минимума полной потенциальной энергии

Выражение полной потенциальной энергии балочного элемента (рис. 2.7) имеет вид

Π =	1 l		′′ 2	l	(2.40)
	2	∫EJ (w )		dx − ∫q(x)w(x)dx.
		0		0

Рис. 2.7. Балочный конечный элемент

Функцию прогибов аппроксимируем в явном виде:

∆1

∆

w(x)= N

∆

]

= [N ]{∆}.

(2.41)

+... + N ∆

= [N

1 1

4 4

1А2

∆

Продифференцировав дважды по х выражение (2.41), получим

∆1

∆

′′

] ∆

= [B]{∆}.

(2.42)

w (x)= N1∆1 +...+ N4∆4 = [N1

∆

Здесь [В] – матрица вторых производных функций формы

[B]= [N1′′

N2′′

N3′′

N4′′].

(2.43)

Источник: https://studfile.net/preview/16407417/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика