Материал: 1360

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Первый интеграл из (2.40) запишем с учётом соотношения (2.42) в следующем виде:

∫l EJ (w′′)2dx = ∫l (w′′)EJ (w′′)dx =

N′′

∆

(2.44)

= ∫l {∆1 ∆2

∆3 ∆4

} N2′′

[D][N1′′

N2′′

N3′′

N4′′] ∆2

dx.

′′

∆3

N4′′

∆4

Здесь [D] – матрица упругости, состоящая из одного элемента:

(2.45)

[D]= EJ[1]= EJ .

Интеграл (2.44) представим в матричном виде:

∫EJ (w ) dx =

∫{∆}

[k]{∆},

(2.46)

[B]

[D][B]{∆}dx ={∆}

′′ 2

где {∆}T и [Â]T

– транспонированные вектор узловых перемещений и

матрица вторых про зводных соответственно:

N1′′

∆

};

[Â]T

′′

(2.47)

{∆}T ={∆

∆

= N2 ;

N3′′

N4′′

[k] – матрица жесткости балочного элемента, определяемая по формуле

[k]= ∫l [B]Τ [D][B]dx.	(2.48)
0

После подстановки в выражение (2.48) соотношений (2.43), (2.45) и (2.47) и интегрирования с учетом зависимостей (2.22) получим матрицу жесткости балочного конечного элемента:

− 6

[k ] =

2 EJ

−3l

(2.49)

l 3

− 6 −3l

6 −3l

−3l

Второй интеграл из (2.36) запишем с учетом соотношения (2.37) в следующем виде:

∫l	q (x)w (x)dx = ∫l q (x)[N1(x)∆1 +.... + N4 (x)∆4 ]dx =
0		0
					∆					(2.50)
					1				И	(2.50)
= ∫l q [N1		N2 N3 N4	] ∆∆2			dx		= ∫l	И
= ∫l q [N1		N2 N3 N4	] ∆∆2			dx		= ∫l	q [N ]{∆}dx.
	0				3			0
				∆			Д
					4
С	учетом	2		А					(2.50) выражение полной
С	учетом	соотношений			(2.46)			и	(2.50) выражение полной

потенциальной энергии (2.40) можно представить в матричном виде:
			б
		Π = 1		{∆}Τ [k]{∆}+{P}Τ {∆},	(2.51)
		и
	С
Τ
где {P}	– транспон рованный вектор узловых сил,
		{P}T		= − ∫l q [N ]dx .	(2.52)
				0
Произвольная компонента вектора {Р} определяется по фор-
муле	Pi = − ∫l q (x)Ni (x) dx, i =1,...,4.
	Pi = − ∫l q (x)Ni (x) dx, i =1,...,4.				(2.53)
			0

Из условия стационарности полной потенциальной энергии:

d Ï		или	∂ Ï	= 0, i =1,..., m	(2.54)
	= 0		∂∆
d {∆}	= 0		∂∆
			i
				32

получим уравнение жесткости в матричном виде:

[k]{∆}+{P}= 0.

(2.55)

Уравнение (2.51) получено для балочного конечного элемента, но может быть использовано также и для других типов элементов. В этом состоит одно из главных преимуществ матричной формы представления систем разрешающих уравнений. Матричная форма стандартна, одинакова для разных типов конечных элементов.

			Вопросы для самопроверки
1.							И
1.	Сколько степеней свободы имеет балочный конечный элемент?
2.	В чем заключается принцип минимума полной потенциальной
энергии?						Д
энергии?
3.	В чем механический смысл коэффициентов жесткости?
4.	Сколько узловых сил в балочном конечном элементе?
5.					А
5.	Какова размерность локальной матрицы жесткости балочного ко-
нечного элемента?				б
6.	Как распределенная нагрузка приводится к узловой?
7.	Каковы размерности коэффициентов матрицы жесткости?
			и
		С

3.ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

3.1.Глобальная матрица жесткости

3.1.1. Плоская задача

Формирование общей или глобальной системы уравнений МКЭ в виде уравнений жесткости (1.17) по существу сводится к определению общей матрицы жесткости [К] и вектора узловых внешних сил

{Р}.

Матрица [К] составлена из матриц жесткости отдельных конечных элементов [k (i)], которые размещены в общей матрице жест-

кости в определённом порядке. Этот порядок определяется взаимным расположением конечных элементов. Рассматривая поочерёдно каждый конечный элемент, вычисляют его локальную матрицу же-

сткости [k (i)]и размещают ее в общей матрице жесткости [К]. Затем

переходят к следующему элементу.

Рассмотрим формирование глобальнойИматрицы жесткости на

примере плоской задачи. Представим матрицу жесткости конечного

элемента 2 (рис. 3.1,а) в блочном виде:

(2)

]

(2)

[k11

[k12

] [k13

] [k14

]

[k24(2)]

(2)

]

[k22(2)

] [k23(2)

(3.1)

(2)

[k33

]

[k34

]

[k (2)

]

где

(2)

k11

k12

(

k13

k14

(2)

k77

k78

[k11

,..., [k44

(3.2)

[k12

k21

k22

k23

k24

k87

k88

Верхний индекс 2 соответствует номеру конечного элемента. Локальная нумерация узлов плоского прямоугольного конечного элемента представлена в табл. 1.2 (тип V).

Блочное представление матрицы жесткости удобно тем, что количество блоков в строке или столбце матрицы [k (i)] равно количе-

ству узлов элемента. Для нумерации узлов обычно используются две системы отсчета: местная (локальная) и общая (глобальная). Местная

система отсчёта применяется при вычислении матрицы жесткости элемента [k(i )], а общая – при формировании глобальной матрицы

жесткости [К]. Для того чтобы увязать между собой эти две системы отсчета, составляется матрица преобразований. Эту матрицу удобно представить в виде таблицы индексов. Для схемы, изображенной на рис. 3.1,а, таблица индексов имеет вид табл. 3.1.

а)

б)

				И
			Д
		А
	б
и
С

Рис. 3.1. Размещение элементов матрицы жесткости второго конечного элемента (а) в общей матрице жесткости (б) (звездочками отмечены ненулевые элементы матрицы)

С учетом табл. 3.1 размещение матрицы жесткости (3.1) второго элемента в общей матрице жесткости [К] представлено на рис.

3.1,б.

Источник: https://studfile.net/preview/16407417/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика

Материал: 1360

Вопросы для самопроверки

3.ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

3.1.Глобальная матрица жесткости

3.1.1. Плоская задача

Смотрите также: