Материал: 1360

1.КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

ИРАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ

1.1. Идея метода перемещений

При расчете конструкции МКЭ рассматриваемое тело делится на конечное число малых частей – конечных элементов (КЭ), связанных между собой в определенном числе точек – узлах. Если предположить, что перемещения в любой точке конечного элемента можно выразить в зависимости от перемещений в узлах, то задача сводится к вычислению перемещений в узлах. Перемещения узлов области и на контуре определяются системой уравнений, которые представляют собой условия

-состояние каждого конечного элемента (перемещение, деформация, напряжение и т.д.) описывается с помощью интерполирующих функций и конечного числа параметров в узлах (степеней свободы), представляющих основные неизвестные МКЭ (рис. 1.1).

Число узловых перемещений и соответствующих им узловых сил равно числу степеней свободы. Числом степеней свободы называют количество независимых параметров, определяющих положение в пространстве узловой точки конечного элемента и всей дискретной расчетной схемы конструкции. В соответствии с этим различают количество степеней свободы одного узла mу, конечного элемента mэ и всей конструкции m. Если вся расчетная схема имеет n узлов, то общее число степеней свободы определяется по формуле

6

Рис. 1.1. Плоская расчетная схема (а) и ее конечно-элементное представление (б)

четыре прямоугольных элемента. Каждая узловаяИточка на плоскости имеет две степени свободы. В качестве степеней свободы произвольной точки k (рис. 1.2,б) рассматриваются линейные

Степени свободы имеют определенный физический смысл.

Они представляют собой узловые перемещения.

На рис. 1.2 представлен пример плоской области, разбитой на

Рис.1.2. Конечно-элементная дискретизация области

Так как один прямоугольный конечный элемент содержит четыре узла, то количество степеней свободы такого элемента равно восьми: тэ = 8. Соседние конечные элементы могут иметь общие узлы.

Полное количество узлов расчетной схемы, представленной на рис. 1.2,а, равно девяти: n = 9. Общее количество степеней свободы всей системы т = n ту = 9×2 = 18.

7

В методе перемещений основную систему получают путем наложения дополнительных связей на систему заданную. Причем связи накладывают по направлению искомых узловых перемещений или степеней свободы. Для произвольного узла к в дополнительно наложенных связях возникают реактивные силы Rxk и Ryk, которые по существу являются узловыми силами взаимодействия между конечными элементами. Число узловых сил совпадает с числом узловых перемещений и равняется числу степеней свободы.

1.3. Типы конечных элементов

Конечные элементы (КЭ) можно классифицировать по следующим признакам:

- одномерные – стержневые КЭ, используемые для расчета как плоских, так и пространственных стержневых конструкций (табл.

1.1);

- двумерные, треугольной и четырехугольной формы, используемые для решения плоской задачи теории упругости и расчета пластин и оболочек (табл.1.2);

Таблица 1.2

Параметры двумерных конечных элементов

- трёхмерные, объёмные, или пространственные, используемые для расчета сложных пространственных конструкций и массивных тел (табл. 1.3).

9

Таблица 1.3

Параметры трехмерных конечных элементов

В методе конечных элементов используют две системы координат: локальную (местную) глобальную (общую) (рис. 1.3).

Локальные координаты применяют для описания отдельных элементов, глобальные – для описания всей конструкции.

Рис.1.3. Системы координатных осей

10