Материал: 1360
где {∆} – вектор узловых перемещений размерности т; {P} – вектор узловых нагрузок размерности т; [К] – глобальная матрица жесткости
т×т.
Вопросы для самопроверки
1.В чем заключается идея метода конечных элементов?
2.Какие бывают виды конечных элементов?
3.Как определяется число степеней свободы конечного элемента?
4.В чем состоит сущность дискретизации системы?
5.Чем локальные координаты отличаются от глобальных?
6.В чем физический смысл коэффициента k11 в матрице жесткости?
7.Как записывается зависимость между векторами узловых перемещений и узловых нагрузок? ИД
|
|
А |
|
б |
|
и |
|
|
С |
|
|
16
2. ВЫВОД РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ МКЭ
2.1. Аппроксимация перемещений на элементе
Функции, с помощью которых определяются перемещения между узловыми точками внутри элемента, называются интерполирующи-
миили аппроксимирующими функциями, или функциями формы.
От выбора интерполирующих функций зависит выполнение условий непрерывности функции и ее производных между отдельными элементами, а следовательно, точность решения.
Рассмотрим балочный элемент, который представлен в табл. 1.1 (тип II). Он имеет четыре степени свободы (mэ= 4).
Для приближенного описания перемещений внутри данного конечного элемента используется идея метода Ритца, в соответствии с которой неизвестная функция перемещений w(х) заменяется куби-
ческим полиномом с постоянными коэффициентами ai: |
|
|
w(х)=a1 + a2 x +a3 x2 + a4 x3. |
(2.1) |
|
|
И |
|
Коэффициенты ai не имеют физического смысла, а выражение |
||
Д |
|
|
А |
|
|
(2.1) называется представлением функции прогибов в неявной фор- |
||
ме. Функция прогибов в явной форме более удобна, так как коэффи- |
||
циенты ai в ней заменены имеющими физический смысл узловыми |
|||
перемещениями ∆i: |
б |
|
|
|
N3(x)+ ∆4 N4(x), |
(2.2) |
|
w(х)= ∆1N1(x) + ∆2 N2(x) +∆3 |
|||
|
и |
|
|
где N1(x),…, N4(x) – функции формы, представляющие собой одномерные полиномы Эрмита.
С |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
||||||
N1(x) |
=1−3 |
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
=1−3ξ |
|
+ 2ξ |
|
; |
|
||||
|
l2 |
|
l3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
N2 (x)=1− 2 |
|
x2 |
|
+ |
|
x3 |
|
|
= x(1− 2ξ +ξ2 ); |
(2.3) |
||||||||||||
|
l |
|
|
l2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
N3 |
(x)= 3 |
x2 |
|
− 2 |
x3 |
|
= 3ξ2 − 2ξ3; |
|
|
|
||||||||||||
l2 |
l3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
N4 (x)= − |
x2 |
|
|
+ |
x3 |
|
= −x(ξ −ξ2 ), |
|
|
|
||||||||||||
l |
|
|
l2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где ξ = x / l – безразмерная координата.
17
Эпюры функций формы представлены на рис. 2.1,б.
|
|
|
|
И |
|
|
Рис. 2.1. Балочный элемент (а) |
||
|
|
и эпюры функций формы (б) |
||
|
|
|
А |
|
Эти функции формы полностью совпадают с единичными |
||||
|
|
б |
|
|
эпюрами перемещений балки в основнойДсистеме метода перемеще- |
||||
ний (рис. 2.2). |
и |
|
|
|
|
|
|
||
С |
|
|
|
|
Рис. 2.2. Единичные состояния балочного элемента в основной системе метода перемещений
18
2.2.Общие требования к аппроксимирующим функциям перемещений и рекомендации по их применению
Для приближенного описания перемещений внутри конечного элемента используется идея метода Ритца, в соответствии с которой неизвестная функция перемещений w(x) заменяется суммой:
w(x) = ∑ai fi (x) |
(2.4) |
или |
|
w(x) = ∑∆i Ni (x) , |
(2.5) |
где ai – неизвестные коэффициенты, не имеющие определенного физического смысла; fi(x) – базисные функции, выбираемые с учетом требований и рекомендаций, сформулированных ниже; i – неизвестные коэффициенты, имеющие физический смысл узловых перемещений; Ni(x) – координатные функции, описывающие перемещения внутри конечного элемента, возникающие от единичных смещений
узлов. |
|
И |
|
|
|
Каждая координатная функция Ni(x) должна удовлетворять |
||
|
Д |
|
|
А |
|
уравнениям неразрывности в пределах конечного элемента и кинема- |
||
тическим граничным условиям в узлах. Следовательно, функции Ni(x) |
||
зависят от формы конечного элемента и поэтому они называются функциями формы.
В качестве пр мера баз сных функций и функции формы можно |
||||||||||
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
||
рассмотреть функц , содержащиеся в выражениях (2.4) и (2.5), опи- |
||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
содер- |
|||
сывающих прогибы балочного элемента. В выражении (2.4) |
||||||||||
жатся следующие базисные функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
f = 1; |
f |
2 |
= х; |
f |
3 |
= х2; |
f |
4 |
= х3. |
(2.6) |
С1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
В выражении (2.5) содержатся функции формы N1(x), N2(x), N3(x), N4(x), определяемые по формулам (2.3). Заметим, что для стержня постоянного сечения полученные функции формы являются точными.
Прямое определение функции формы, как в только что рассмотренных примерах, возможно лишь для простейших (стержневых) конечных элементов, поэтому в общем случае для трехмерных элементов используют следующий прием:
19
функции перемещений u(x,y,z), v(x,y,z),w(x,y,z), составляющие вектор {Z}, аппроксимируют в виде
{Z} =[ f ]{a}, |
(2.7) |
|
|
где {Z} – вектор перемещений, |
|
u(x, y, z) |
|
{Z}= v(x, y, z) ; |
|
w(x, y, z) |
|
|
|
[f] – матрица базисных функций fi(x,y,z); {a} – вектор коэффициентов |
||
ai, i = 1…S. |
|
|
Здесь S – число коэффициентов, как правило, равное числу сте- |
||
пеней свободы конечного элемента mэ. |
|
|
Требования к аппроксимирующим выражениям перемещений. |
||
|
|
И |
1. Функции {Z} должны удовлетворять уравнениям совместно- |
||
|
Д |
|
сти деформаций в пределах элемента либо, что предпочтительнее, |
||
разрешающим дифференциальнымАуравнениям в перемещениях для элементов данного т па (при нагрузках, прикладываемых только в уз-
лах). Например, для балочного конечного элемента функция прогибов |
||||
|
б |
|
|
|
w(x) должна удовлетворять уравнению |
|
|||
и |
d 4w |
|
|
|
С |
|
= 0 |
, |
|
|
dx4 |
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
а для элемента изгибаемой тонкой изотропной плиты постоянной толщины приближенное выражение прогибов w(x,у) должно удовлетворять однородному (при q = 0) уравнению
4w = 0.
Если аппроксимировать функции w(x) и w(x,у) полиномами до третьей степени включительно, то указанные требования выполняются при любых коэффициентах ai.
20