Материал: !_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС

Комплексно-значную функцию от действительной переменной , устанавливающую связь между спектрами выходного сигнала и входного воздействия, называют частотной передаточной функцией, а её графическое изображение амплитудо-фазочастотной характеристикой (АФЧХ.)

.

На комплексной плоскости определяет вектор, длина которого равна амплитуде A(ω_i), а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью) - фазе φ(ω_i) для каждого фиксированного значения частоты ω=ω_i. Смотри рис. 1.

Рис. 1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика

Кривая, представляющая собой геометрическое место точек при изменении частоты от 0 до , называется годографом или АФЧХ. (рис. 1.).

Комплексно-значная функция может быть построена в декартовых и полярных координатах, т. е. её можно представить в виде

, где

-действительная (вещественная) частотная функция, график которой, построенный при изменении частоты от 0 до ∞ называется действительной частотой характеристикой (ДЧХ);

- мнимая частотная функция, а её график – мнимая ЧХ (МЧХ). Модуль называют амплитудно-частотной функцией, а её график - амплитудо-частотной характеристикой (АЧХ);

Аргумент называют фазочастотной функцией, а её график – фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

Для построения функции необходимо освободиться от комплексного числа в знаменателе, т.е. выделить действительную и мнимую часть функции:

.

Функции однозначно связаны между собой.

.

; .

На практике при построении ФЧХ можно использовать два способа. Первый способ позволяет определить значения ФЧХ через значения нулей и полюсов передаточной функции.

Второй способ позволяет определить ФЧХ с использованием действительной и мнимой частотных функций:

, если .

Если суммарный фазовый сдвиг превышает 90 градусов, то для правильного построения ФЧХ необходимо использовать следующие правила.

Определим физический смысл частотных характеристик:

если на вход устойчивой системы подается гармонический сигнал с некоторой амплитудой и частотой, то на выходе в установившемся режиме имеет место также гармонический сигнал с той же частотой, но уже с другими амплитудой и фазой. Следовательно, АЧХ показывает изменение отношения амплитуд, а ФЧХ – сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного в зависимости от частоты входного гармонического воздействия.

1.1 Логарифмические частотные характеристики

При исследовании систем АЧХ и ФЧХ удобно строить в логарифмическом масштабе. Это связано с двумя обстоятельствами: логарифмические кордиты позволяют упрощённо изображать АЧХ ломаными линиями, а также значительно упрощается построение АЧХ цепочки последовательно соединённых звеньев.

АЧХ в логарифмических координатах строится в виде зависимости от и называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ или ЛАХ), а ФЧХ в виде зависимости от и называется логарифмической фазовой характеристикой (ЛФЧХ).

Для построения ЛАЧХ находится функция .

Значения этой функции выражаются в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности, в 10 раз, 2 бела — в 100 раз, 3 бела — в 1000 раз и т. д.

Децибел равен одной десятой части бела. Если бы было отношением мощностей, то перед логарифмом в правой части должен был бы стоять множитель 10. Так как представляет собой отношение не мощностей, а выходной и входной величин (перемещений, скоростей, напряжений, токов и т. п.), то увеличение этого отношения в десять раз будет соответствовать увеличению отношения мощностей в сто раз, что соответствует двум белам или двадцати децибелам. Поэтому в правой части стоит множитель 20.

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ используется стандартная сетка (рис. 3.2). По оси абсцисс откладывается угловая частота  [1/с] в логарифмическом масштабе, т. е. наносятся отметки, соответствующие , а около отметок пишется само значение частоты в рад/сек. Равномерной единицей на оси абсцисс является декада. См. рис. 2.

Декада- это интервал, на котором частота изменяется в 10 раз.

Рис. 2. ЛАЧХ и ЛФЧХ системы

Поскольку , то начало координат чаще всего берется в точке =1 (исключая точку  = 0, т.к. ). Таким образом, начало координат можно брать в любой точке (в зависимости от интересующего нас диапазона частот).

Частота пересечения L() с осью абсцисс называется частотой среза и обозначается _ср.

По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дб). Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дб, что соответствует значению модуля , так как логарифм единицы равен нулю. Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Следует учесть, что точка лежит на оси частот слева в бесконечности, так как . Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход ЛАЧХ.

Для построения ЛФЧХ используется та же ось абсцисс (ось частот). По оси ординат откладывается фаза в градусах (радианах) в линейном масштабе.

Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность построения их без вычислительной работы, т.е. результирующая ЛАЧХ может быть приближенно построена в виде так называемой асимптотической ЛАЧХ, представляющей собой совокупность отрезков прямых линий с наклонами, кратными величине 20 дб/дек.

1.2 Частотные характеристики цепочки последовательно соединенных звеньев

Рассмотрим получение частотных характеристик на примере, из которого ясен общий метод. Пусть задана передаточная функция разомкнутой цепи в виде

,

причем (при таком можно будет не учитывать «горба» амплитудной частотной характеристики колебательного звена).

Амплитудная и фазовая частотные характеристики имеют вид:

.

Логарифмическую амплитудную частотную характеристику можно строить непосредственно по заданной передаточной функции.

Для этого надо помнить, что, согласно характеристикам типовых звеньев, каждому сомножителю типа в знаменателе соответствует точка излома характеристики при с последующим наклоном -20 дб/дек, а каждому сомножителю такого же типа в числителе соответствует точка излома при с последующим наклоном +20 дб/дек. Сомножителю в знаменателе соответствует излом с наклоном -40 дб/дек, если . При нужно добавочно строить горб, вычислив превышение Н.

Т.о., пронумеровав по порядку все сомножители передаточной функции:

,

для каждого из них получим характеристики, показанные на рис. 3.3(а) и обозначенные цифрами в кружках.

Простое сложение их дает искомую логарифмическую амплитудную частотную характеристику данной разомкнутой цепи звеньев, показанную на рис. 3.3 (б). На рис. 3.3 (в) согласно написанной выше формуле изображена фазовая ЧХ .