Материал: !_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС

- коэффициент передачи или передаточный коэффициент, который характеризует уровень сигнала на выходе системы.

Окончательно получаем уравнение (1) в стандартной форме:

(1.5)

1.3 Операторная передаточная функция

Вернёмся к уравнению (3) и введём обозначения:

.

Тогда уравнение (3) можно записать в компактной форме:

(6)

Оператор при выходной величине называется собственным оператором системы, оператор при входной величине – оператором воздействия. Уравнение (6) можно записать в виде:

Назовём отношение оператора воздействия к собственному оператору операторной передаточной функцией и будем обозначать

(7)

Уравнение (7) представляет вторую форму записи ДУ.

Замечание. Приведённые выше записи являются символическими, поскольку не дают решения исходного ДУ относительно выходной величины, т.к. не определена операция деления оператора на оператор.

Рассмотрим пример: получим дифференциальное уравнение и передаточную функцию простейшего четырёхполюсника, содержащего резистор и конденсатор.

Составим дифференциальное уравнение системы (RC - цепочка):

Рис. 1 Систем: RC - цепочка

Система описывается следующими уравнениями

, (8)

. (9)

Продифференцируем уравнение (8), получим

.

Выразим из (9) , получим: .

Найдём соотношение вход-выход:

,

или

.

Введём оператор дифференцирования: .

Проведём преобразования: .

Введём обозначения: ,

тогда .

Обозначим , тогда передаточная функция будет иметь вид: .

Вычисления можно упростить, если сразу в (8) и (9) перейти к оператору дифференцирования.

2. Практическая часть

Объектом исследования в данной лабораторной работе являются аналитические формы представления динамических процессов, а целью – получение структурных математических моделей типовых линейных звеньев.

Модели линейных систем могут быть представлены аналитически в виде:

• дифференциального уравнения n-го порядка;

• системы n дифференциальных уравнений первого порядка;

• передаточной функции, записанной в общем виде;

• передаточной функции как соединении типовых передаточных функций элементарных звеньев.

Запишем линейное дифференциальное уравнение в виде

или

где и - постоянные коэффициенты; - выходная, - входная переменные; для реальных систем .

Перейдём к операторной (символической) форме записи

, (10)

- символ дифференцирования;

Решение этого уравнения найдём для нулевых начальных условий

Передаточная функция в операторной форме имеет вид:

При для всех и дифференциальное уравнение записывается как , а передаточная функция имеет вид

. (11)

Выходную переменную можно получить путем последовательного интегрирования старшей производной . Для этого потребуется последовательно включенных интеграторов, сигналы на входах которых представляют собой производные от до . Старшая производная получается путём суммирования производных более низкого порядка.

Запись дифференциального уравнения (11) можно представить в виде

(12)

Рассмотренный метод моделирования называется методом математического моделирования систем управления путём понижения порядка дифференциального уравнения.

3. Порядок проведения работы

Для проведения экспериментов необходимо открыть Simulink. Система Simulink запускается из среды MATLAB путём выбора указателем мыши пиктограммы Simulink на панели инструментов MATLAB. В результате появится окно Simulink Library Browser (Браузер главной библиотеки Simulink). При первом открытии из меню File Окна библиотек выбрать пункт New подпункт Model. Имя окна (имя модели) задаётся по умолчанию – untitled. В этом окне строится модель системы в виде структурной схемы.

При двойном нажатии левой клавиши на пиктограммах в левой части окна Simulink Library Browser появляется список библиотек. При нажатии левой кнопки мыши на строке с наименованиями библиотеки блоков, в правой части окна появляется список блоков указанной библиотеки.

Для построения структурной схемы модели в окне с именем untitled изображения необходимых блоков перемещаются в окно модели из библиотек. Затем необходимо провести линии связи, для этого указатель мыши помещается на выходной порт блока, который обозначается угловой скобкой «>» на правой стороне изображения блока. При этом указатель примет вид креста. Далее, при нажатой левой кнопке мыши, указатель мыши перемещается к входному порту другого блока, он обозначается угловой скобкой «>», расположенной на левой стороне изображения блока. В случае верно выбранной точки входа указатель принимает вид двойного креста. Линия связи заканчивается стрелкой для индикации направления передачи сигнала.

В типовой модели используются блоки из следующих библиотек:

• Continuous - элементы непрерывных систем (Integrator - интегратор, Transfer Fcn – передаточная функция);

• Source – источники сигналов (Step – единичная ступенчатая функция);

• Math operation – математические функции (Gain –усилитель, Sum – сумматор);

• Sinks – средства регистрации (Scope – осциллограф);

• Signal Routing – сигналы и системы (Mux – мультиплексор).

Эксперимент №1. Моделирование пропорционального звена

Дифференциальное уравнение звена с учетом (10) имеет вид: .

Используя (12), получим выражение для выходной переменной .

Введём обозначения: , где К – коэффициент передачи (усиления).

Передаточная функция системы будет иметь вид .

Рис 2. Структурная схема

Порядок выполнения эксперимента:

1. На блоке Step установить время приложения сигнала «0».

2. В теории управления на осциллографе обычно регистрируются входной и выходной сигналы, для того чтобы можно было увидеть изменение входного сигнала при прохождении его через систему. Для получения входного сигнала на осциллографе необходимо сигнал с блока Step подать на один из входов блока Mux и далее на Scope.

3. Для получения выходного сигнала необходимо соединить последовательно блоки Step, Gain, Mux, Scope.

4. Исследуйте изменение выходного сигнала при изменении коэффициента усиления. Коэффициент на блоке Gain может задаваться одним значением или в виде набора коэффициентов (в квадратных скобках через пробел).

5. Добавить на блоке Mux ещё один вход и подключить блок Transfer Fcn к набранной схеме.

6. Получить модель усилительного звена с использованием блока Transfer Fcn, для этого необходимо открыть блок и установить коэффициенты числителя и знаменателя передаточной функции.

7. Схему моделирования и графики сохранить в отчёте.

Эксперимент №2. Моделирование интегрирующего звена

Дифференциальное уравнение звена с учетом (1.10) имеет вид: .

Используя (1.12), получим выражение для старшей производной выходной переменной

.

Введём обозначения: ,тогда передаточная функция имеет вид .

Рис. 3. Структурная схема интегрирующего звена

Порядок выполнения эксперимента:

1. Скопировать схему из первого эксперимента и добавить блок Integrator после блока Gain.

2. Исследуйте изменение выходного сигнала при изменении коэффициента усиления.

3. Получить и исследовать модель интегрирующее звено с использованием блока Transfer Fcn.

4. Подайте на вход интегратора синусоидальный сигнал и исследуйте реакцию системы.

5. Схему моделирования и графики сохранить в отчёте.

Эксперимент №3 Моделирование апериодического звена первого порядка.

Дифференциальное уравнение звена с учетом (10) имеет вид:

Используя (1.12), получим выражение для старшей производной выходной переменной

Рис. 4. Структурная схема апериодического звена

Приведём дифференциальное уравнение к стандартной форме

.

Введём обозначения: , . Операторная передаточная функция имеет вид , где К – коэффициент передачи звена, Т – постоянная времени звена.

Для получения модели используем внутренний сумматор и единичную обратную связь.