Материал: !_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
1. Теоретическая часть
Функция, которая подвергается преобразованию Лапласа, должна обладать следующими свойствами [2, 4, 8]:
1. Функция должна быть определена и дифференцируема по всей положительной полуоси;
2.
Функция должна быть тождественно равна
0 при
,
т.е. (
при
);
3.
Функция должна быть ограниченна, т.е.
для функции
существуют
такие положительные числа М
и с,
что
при
,
т.е.
,
где с
– абсцисса абсолютной сходимости
(некоторое положительное число).
Преобразование
Лапласа
это соотношение
вида
,
ставящее
функции
вещественного
переменного
в соответствие функцию
комплексного переменного
(
).
При
этом
называется
оригиналом,
–
изображением.
Символическая запись преобразования Лапласа, а именно,
,
где
– оператор прямого преобразования
Лапласа.
1.1 Нахождение оригиналов функций по их изображениям
Если изображение функции является дробно-рациональной функцией вида
,
то нахождение оригинала производится по аналитическим формулам:
1. Для случая, когда корни простые, вещественные:
. (1)
2.
Для случая, когда корни простые,
вещественные и один корень нулевой,
т.е.
:
. (2)
3.
Для случая, когда корни комплексно-сопряженные,
(считается для одного корня):
,
если
(3)
.
4. Для случая, когда корни комплексно-сопряженные и один нулевой:
. (4)
2. Практическая часть
Определим порядок вычисления оригинала функции по его изображению:
1.
Вычислить корни полинома
:
.
Число
корней
равно
порядку полинома
.
2. Выбрать формулу для расчёта оригинала.
3.
Вычислить производную
.
4.
Вычислить значения полиномов
и
при подстановке корней полинома
знаменателя.
5.
Вычислить значения коэффициентов при
функциях
.
Пример 1
.
1.
.
2. Корни вещественные, выбираем формулу (1): .
3.
Вычисляем
.
.
Рассмотрим пример вычисления с использованием MATLAB:
>> p=[1 5 4]; - коэффициенты полинома знаменателя;
>> b=[3]; - коэффициенты полинома числителя;
>>r=roots(p) – вычисление корней знаменателя;
r =
-4
-1
>>r1=r(1); r2=r(2)
>> dp=polyder(p) – вычисление коэффициентов производной ;
dp =
2 5
>> A1=polyval(dp,r1) – вычисление для первого корня;
A1 = 3
>> A2=polyval(dp,r2) – вычисление для второго корня;
A2 = -3
>>В1= polyval(b, r1) – вычисление для первого корня;
В1=3
>> C1=В1./A1 – вычисление коэффициента при первом корне;
C1 = 1
>>В2= polyval(b, r2) – вычисление для второго корня;
В2= 3
>> C2=В2./A2 – вычисление коэффициента при втором корне;
C2 = -1
>> t=[0:0.01:5] ;– интервал времени и шаг счёта;
>> x=C1.*exp(r1.*t)+C2.*exp(r2.*t);
>> plot(t,x),grid on, xlabel('Time(sec)'), ylabel('x(t)')
На рис. 1. приведен график функции, построенный с использованием оператора plot(t,x).
Рис. 1. График функции, построенный с использованием оператора plot(t,x)
Изображению
соответствует
оригинал
.
Проверим правильность преобразований. Для этого воспользуемся предельными теоремами.
Пример 2
1.
.
2. Корни вещественные и один нулевой, выбираем формулу (2):
.
3. Вычисляем
.
.
Воспользуемся результатами расчёта из примера 1 и пересчитаем коэффициенты с использованием MATLAB:
>>C3=C1./(r1) – вычисление коэффициента при первом корне;
C3 = -1
>> C4=C2./(r2) – вычисление коэффициента при втором корне;
C4 = 0.2500
>>В0= polyval(b, 0) – вычисление для нулевого корня;
В0=3
>>А0=polyval(p,0)
– вычисление
для
нулевого корня;
А0=4
>>С0=В0./А0 – вычисление коэффициента при нулевом корне;
С0=0.75
>> x1=С0+C3.*exp(r1.*t)+C4.*exp(r2.*t);
>> plot(t,x1), grid on, xlabel('Time(sec)'), ylabel('x1(t)')
На рис. 2. приведен график функции, построенный с использованием оператора plot(t,x).
Рис. 2. График функции, построенный с использованием оператора plot(t,x)
Изображению
соответствует
оригинал
.
Проверим правильность преобразований
.
.
Пример 3
.
1.
.
2. Корни комплексно-сопряжённые, выбираем формулу (3)
3.
Вычисляем
4.
Расчёт
для одного корня:
.
Представим комплексный корень в тригонометрическом виде
,
тогда
.
Алгоритм вычисления оригинала функции, если корни знаменателя комплексные, остаётся прежним.
>> p=[1 2 5];
>> r=roots(p)
r = -1.0000 + 2.0000i
-1.0000 - 2.0000i
>>r1=r(1)– выбираем один из корней и для него проводим вычисления;
>> dp=polyder(p) – вычисление коэффициентов производной ;
dp =
2 2
>> A1=polyval(dp, r1) – вычисление для выбранного корня
A1 =0 + 4.0000i
>>В1= polyval(b, r1)
B1=2;
>> C1=B1./A1 – вычисление коэффициента при выбранном корне;
C1 =0 - 0.5000i
Для
формирования функции коэффициент С1
домножаем на
и
оставляем вещественную
часть.
>> t =[0:0.01:5];
>> x= exp(-1.*t).*sin(2.*t);
>> plot(t,x), grid on, xlabel('Time(sec)'), ylabel('x(t)').
На рис. 3. приведен график функции, построенный с использованием оператора plot(t,x).
Рис. 3. График функции, построенный с использованием оператора plot(t,x)