Материал: !_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС

Содержание отчёта

1. Цели и задачи и выводы лабораторной работы.

2. Частотные характеристики исследуемых звеньев.

3. Таблицы экспериментальных и теоретических данных.

4. Совмещенные графики теоретических и экспериментальных характеристик рассмотренных звеньев.

5. Студент должен уметь получать и строить качественно частотные характеристики звеньев, а также ЛАЧХ (в асимптотах) и ЛФЧХ сложных передаточных функций.

7. Выводы по содержанию и результатам лабораторной работы.

Вопросы для собеседования

1. В чём состоит физический смысл частотных характеристик?

2. Как определить сопрягающую частоту?

3. Как измениться амплитудная характеристика апериодического звена, если постоянная времени увеличится в 10 раз? уменьшиться в 10 раз?

4. Как измениться фазовая характеристика апериодического звена, если коэффициент усиления увеличится в 10 раз?

5. Как измениться фазовая характеристика интегрирующего звена, если коэффициент усиления увеличится в 10 раз?

6. Как измениться фазовая характеристика усилительного звена, если коэффициент усиления увеличится в 10 раз?

7. Укажите единицу измерения амплитуды.

Лабораторная работа № 6 «Исследование устойчивости линейных систем управления с обратной связью»

Цель лабораторной работы - формирование практических навыков по исследованию устойчивости линейных систем управления с обратной связью.

Задача лабораторной работы - освоение технологии исследования устойчивости линейных систем управления с обратной связью с использованием различных критериев устойчивости.

Необходимое время для выполнения работы: - 2 академических часа.

Необходимые приборы и оборудование:

• Компьютер, совместимый с IBM PC, ОЗУ не менее 512 Мб.

• Операционная система WINDOWS *.

• Математический пакет MATLAB Version *.

Форма отчётности студентов: индивидуальный отчёт с типовым титульным листом и результатами моделирования.

Защита работы: собеседование с преподавателем по контрольным вопросам, выполнение индивидуальных заданий.

1. Теоретическая часть

Устойчивость – это способность системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после выхода из него в результате какого-либо воздействия [1, 4, 7, 8]

Впервые строгое научное определение устойчивости было дано русским учёным А.М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Определение устойчивости Ляпунова оказалось настолько удобным и удовлетворяющим многим техническим задачам, что и в настоящее время принято, как основное и продолжается его развитие.

Система обычно находится в состоянии движения, поэтому рассматривают устойчивость движения. Некоторое, вполне определённое движение системы, подлежащее исследованию на устойчивость, называют невозмущённым. Выбор невозмущённого движения является произвольным. Всякое иное движение, отличное от невозмущенного, является возмущённым движением системы.

Возмущённое движение по Ляпунову – это движение, отвечающее изменённым начальным условиям - возмущениям, на которые накладываются ограничения. Удобство теории Ляпунова состоит в том, что:

- невозмущённое и возмущённое движение рассматривается при одних и тех силах, изменяются только начальные условия движения;

- устойчивость рассматривается на бесконечно большом промежутке времени;

- возмущения предполагаются малыми.

Устойчивая система – это динамическая система, обладающая ограниченной реакцией на ограниченный входной сигнал.

Процессы в линейных системах описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Система считается устойчивой, если переходный процесс при стремиться к , т.е. .

В понятие устойчивости входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (быстрота и форма переходного процесса не имеют значения), поэтому определим свойства корней, при которых система будет устойчивой.

Переходный процесс определяется полюсами передаточной функции (корнями знаменателя ПФ или видом левой части дифференциального уравнения).

Обозначим через корни характеристического уравнения:

(1)

Корни уравнения (6.1) могут быть либо вещественными , либо комплексно-сопряженными .

Для того чтобы линейная САУ была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения САУ были отрицательными, т.е.

Если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных корней находятся на мнимой оси ( ), а все остальные корни расположены в левой полуплоскости, САУ находится на границе устойчивости.

Различают апериодическую (имеется хотя бы один нулевой корень) и колебательную (имеется хотя бы одна пара чисто мнимых корней) границы устойчивости. В последнем случае в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания.

Прямой путь определения устойчивости системы состоит в отыскании корней характеристического уравнения. Однако этот путь оказывается весьма трудоемким, особенно, если степень уравнения . Поэтому важно знать признаки, по которым можно судить об устойчивости САУ без непосредственного определения корней уравнения. Эти признаки называются критериями устойчивости.

Критерии устойчивости - это математическая трактовка условий, накладываемых на коэффициенты характеристического уравнения, обеспечивающих устойчивость системы. Критерии устойчивости делят на алгебраические и частотные.

С математической точки зрения критерии эквиваленты, однако выбор определённого критерия позволяет провести анализ устойчивости системы наиболее простым путём.

1.1 Алгебраические критерии

Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения системы:

.

Замечание. Исторически сложилось, что запись коэффициентов характеристического уравнения идёт в порядке возрастания, т.е. при старшей производной находится коэффициент с младшим индексом.

Необходимым условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения, т.е.

.

Для систем первого и второго порядка необходимое условие устойчивости является и достаточным.

Для систем более высокого порядка этого условия устойчивости недостаточно.

1.2 Критерий устойчивости Гурвица (алгебраический)

В 1895г. немецким математиком Гурвицем был разработан алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составленных из коэффициентов характеристического уравнения системы. Приведём критерий без доказательства.

Для характеристического уравнения составим квадратную матрицу, содержащую строк и столбцов.

Для того чтобы воспользоваться критерием, необходимо составить матрицу Гурвица: по диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов вписываются все коэффициенты по порядку от до . Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечётными и чётными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента на его месте записывается «0».

; .

и т.д.

Сформулируем критерий Гурвица:

Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители данной системы были положительными при , т.е.

.

Для систем, описываемых уравнениями первого и второго порядка, критерий Гурвица заключается в требовании положительности всех коэффициентов уравнения: .

Если определитель Гурвица равен 0, то система находится на границе устойчивости, т.е. . Последнее равенство возможно в двух случаях: или . В первом случае система находится на границе апериодической устойчивости (один корень характеристического уравнения нулевой), во втором случае – на границе колебательной устойчивости (характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней).

Критерии, которые позволяют судить об устойчивости системы с помощью только алгебраических процедур над коэффициентами характеристического уравнения, называют алгебраическими.

Критерии, которые позволяют судить об устойчивости системы по виду частотных характеристик системы, называют частотными.

Достоинством частотных критериев является их наглядность, а также возможность использовать частотные характеристики, полученные экспериментально, когда не известны дифференциальные уравнения системы или ее элементов.

1.3 Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем управления по виду их частотных характеристик. Эти критерии являются графоаналитическими и получили широкое распространение, т.к. сравнительно легко позволяют исследовать устойчивость систем высоких порядков, а также имеют простую геометрическую интерпретацию.

В основе частотных методов лежит принцип аргумента — следствие из теоремы функций комплексного переменного, а именно теоремы Коши, относительно числа нулей и полюсов функции, аналитической в заданной области.

Критерий устойчивости Михайлова

Этот критерий сформулирован в 1938г. советским учёным Михайловым и является геометрической интерпретацией принципа аргумента.

Рассмотрим приращение аргумента на интервале частот от 0 до , тогда

,

где — число корней в правой части комплексной плоскости; — число корней в левой части комплексной плоскости.

Если все корни этого уравнения (1) находятся в левой части комплексной плоскости , то система устойчива, т.е. и изменение аргумента:

.

Определение. Система управления устойчива, если годограф , начинаясь на действительной положительной полуоси, при изменении частоты от 0 до огибает начало координат против часовой стрелки, проходя последовательно квадрантов, где - порядок характеристического уравнения.

На рис. 6.1 приведены характеристики, соответствующие устойчивой системе. При изменение аргумента равно , при изменение аргумента равно и характеристическая кривая проходит через два квадранта, и т.д.

Рис. 1. Характеристические кривые (годографы) для устойчивых систем ( )