Материал: !_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС

Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причём её конец уходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения системы.

Неустойчивость системы связана с тем, что в кривой Михайлова нарушается последовательность прохождения квадрантов (рис.2).

Рис. 2. Годограф неустойчивой системы

Критерий Михайлова можно записать в другой форме:

Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вещественная и мнимая функции Михайлова, приравненные к нулю, имели действительные и перемежающиеся корни, причём общее число корней равно порядку характеристического уравнения.

Условие перемежаемости частот позволяет отказаться от построения кривой Михайлова.

Критерий устойчивости Найквиста

В 1932 году американский ученый Найквист предложил критерий для исследования систем с единичной отрицательной обратной связью (рис. 3).

Рис. 3. Замкнутая система.

Критерий основан на рассмотрении амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы, по виду которой судят об устойчивости соответствующей замкнутой системы.

Критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.

АФЧХ разомкнутой системы может быть получена как аналитически, так и экспериментально.

Напомним основные определения критерия Найквиста для статических систем:

1. Если разомкнутая система устойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до ∞ годограф разомкнутой системы не охватывал критическую точку (-1, j0) в положительном направлении (против часовой стрелки).

2. Если разомкнутая система неустойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты ω от 0 до ∞ годограф разомкнутой системы охватывала точку (-1, j0) в положительном направлении l/2 раз, где l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Рис. 4. Годографы устойчивой замкнутой системы:

а – разомкнутая система неустойчива (l = 1);

б – разомкнутая система устойчива (l = 0).

При сложной форме годографа могут возникнуть затруднения при определении числа её оборотов вокруг критической точки (-1, j0). В этом случае используют правило переходов, предложенное Я.З. Цыпкиным.

Назовём переход характеристики через отрезок вещественной отрицательной полуоси левее критической точки (-1, j0) положительным, если он происходи сверху вниз, и отрицательным, если он происходит снизу верх.

Если характеристика начинается или заканчивается на отрезке левее критической точки (-1, j0, то в этих случаях она совершает полперехода.

3. Если разомкнутая система неустойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты ω от 0 до ∞ разность отрицательных и положительных переходов годографа разомкнутой системы через отрезок вещественной отрицательной полуоси левее критической точки (-1, j0) была равна l/2 раз, где l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

АФЧХ разомкнутых статических систем при изменении частоты ω от 0 до ∞ образуют замкнутый контур. У астатических разомкнутых систем при ω=0 годограф начинается в бесконечности. Для определения устойчивости систем с астатизмом любого порядка v необходимо начало АФЧХ разомкнутой системы дополнить дугой бесконечного радиуса против часовой стрелки до пересечения с вещественной положительной полуосью (т.е. сделать контур замкнутым) и применить соответствующее правило по критерию устойчивости Найквиста (рис. 5).

Рис. 5. Годограф устойчивой замкнутой системы.

Задание на выполнение лабораторной работы

Эксперимент 1. Исследование устойчивости звена с передаточной функцией в разомкнутом состоянии .

1.1. Наберите модель звена c заданными параметрами в пакете Simulink, используя блоки (см. ЛР № 1 эксп. 3);

1.2. Получите реакцию звена на единичное ступенчатое воздействие при ;

1.3. Исследуйте устойчивость заданной разомкнутой системы:

- по коэффициентам характеристического уравнения

- по корням;

- по кривой переходного процесса;

- по критерию Гурвица;

Сделайте вывод об устойчивости заданной системы, результаты занесите в табл.6.1.

1.4. Охватите звено единичной отрицательной обратной связью (рис. 3), получите передаточную функцию замкнутой системы;

1.5. Получите семейство переходных характеристик замкнутой системы при изменении коэффициента в пределах от 0.2 до 10).

1.6. Исследуйте устойчивость замкнутой системы:

- по кривой переходного процесса;

- по корням;

- по коэффициентам характеристического уравнения;

- по критерию Гурвица;

1.7. Сделайте вывод об устойчивости замкнутой системы, результаты занесите в таблице 1. Сделайте вывод о влиянии коэффициента на устойчивость;

1.8. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Михайлова;

1.9. Постройте годограф разомкнутой системы с использованием пакета Matlab (используйте материалы лабораторной работы № 5). Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста.

Таблица 1.

Эксперимент 2. Исследование устойчивости звена с передаточной функцией в разомкнутом состоянии .

2.1. Для моделирования использовать схему эксперимента 1, заменив отрицательную обратную связь на положительную.

2.2-2.7. Повторите пункты 1.2-1.7 эксперимента 1, полученные результаты занесите в таблицу 2. Определите .

2.8. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Михайлова для разных коэффициента ( ). Кривые Михайлова для разных коэффициентов показать на одном рисунке.

2.9. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста для .

Эксперимент 3. Исследование устойчивости звена с передаточной функцией в разомкнутом состоянии

3.1. Наберите модель звена c заданными параметрами в пакете Simulink.

3.2.-3.7. Повторите пункты 1.2. -1.7. эксперимента 1, полученные результаты занесите в таблицу 3.

3.8. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Михайлова при изменении коэффициента .

3.9. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста при изменении коэффициента .

Эксперимент 4. Исследование устойчивости звена с передаточной функцией В разомкнутом состоянии .

4.1. Наберите модель звена c заданными параметрами в пакете Simulink;

4.2.-4.7. Повторите пункты 1.2. -1.7. эксперимента 1, полученные результаты занесите в таблицу 5. Определите .

4.8. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Михайлова при К< ;

4.9. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста при К< .

Варианты заданий

Варианты задания представлены в Таблица 2.

Таблица 2. Варианты заданий