Материал: Введение в математику. Пантелеев И.Н., Ястребков В.Н

Решение. а) Удобно перейти в данном выражении к дробным степеням:

Мы замечаем, что над логарифмами чисел производятся действия более простые, чем над самими числами: при умножении чисел их логарифмы складываются, при делении—вычитаются и т.д.

Именно поэтому логарифмы получили применение в вычислительной практике.

Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием, а именно: потенцированием называется действие, с помощью которого по данному логарифму числа находится само это число. По существу потенцирование не является каким-либо особым действием: оно сводится к возведению основания в степень (равную логарифму числа). Термин ―потенцирование‖ можно считать синонимом термина ―возведение в степень‖.

При потенцировании надо пользоваться правилами, обратными по отношению к правилам логарифмирования: сумму логарифмов заменить логарифмом произведения, разность логарифмов – логарифмом частного и т. д. В частности, если перед знаком логарифма находится какой-либо множитель,

87

то его при потенцировании нужно переносить в показатель степени под знак логарифма.

Пример 5. Найти N, если известно, что

данного равенства, перенесем в показатели степени под знаками этих логарифмов; получим

loga N loga b23 loga c13 .

Теперь разность логарифмов заменим логарифмом частного:

для получения последней дроби в этой цепочке равенств мы предыдущую дробь освободили от иррациональности в знаменателе.

Свойство 7. Если основание больше единицы, то большее число имеет больший логарифм (а меньшее – меньший}, если основание меньше единицы, то большее число имеет меньший логарифм {а меньшее – больший).

Это свойство формулируют также и как правило логарифмирования неравенств, обе части которых положительны:

При логарифмировании неравенств по основанию, большему единицы, знак неравенства сохраняется, а при логарифмировании по основанию, меньшему единицы, знак неравенства меняется на противоположный.

Доказательство основано на свойствах 5 и 3. Рассмотрим случай, когда а > 1. Если N > М > 0, то N/M > 1 и, логарифмируя, получим

(a и N/M лежат по одну сторону от единицы). Отсюда log a N > log a M.

Случай а < 1, в котором из N > М > 0 следует log a N< log a M, читатель разберет самостоятельно.

3.2. Логарифмы по различным основаниям. Модуль перехода. Здесь мы установим некоторые свойства, относящиеся к логарифмам по различным основаниям. Для удобства продолжим нумерацию свойств п. 3.1.

Свойство 8. При возведении основания в некоторую (ненулевую) степень логарифм делится на этот показатель степени:

откуда

88

Следствие. При возведении основания и числа в одну и ту же (ненулевую) степень логарифм не изменяется.

Доказательство. Последовательно применяя свойства 8 и 6, находим

Решение. Перепишем данное выражение, сведя основания логарифмов к 5:

Свойство 9. Если а, N положительны и оба не равны единице, то

loga N logN a = logN N = 1.

Свойство 9 доказано.

Следующее важнейшее свойство дает общее правило перехода от логарифмов с основанием а к логарифмам с другим основанием b:

Свойство 10. Имеет место следующее равенство:

логарифмов по основанию а к логарифмам по основанию b. Доказательство. Напишем снова основное тождество

89

и прологарифмируем обе его части по основанию а:

logb N loga b loga N .

Отсюда прямо вытекает требуемое равенство (3.2.3).

Пример 3. Упростить выражение logb a logc b loga c .

Решение. В силу (3.2.4) и (3.2.2) имеем

logb a logc b loga c = logc a loga c 1.

Упражнения:

90

8. Вычислить: loga2 blog a 3b .

4.ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

4.1.Величина. Числовые множества. При изучении природы и в трудовой деятельности человеку приходится иметь дело с многими разнообразными величинами. К ним, в частности, относятся длина, площадь, температура, время, сила, скорость и т. д. Вообще под величиной обычно понимают объект, который может быть охарактеризован числом в результате измерения, т. е. в результате сравнения с объектом той же физической природы, принятым за единицу измерения.

В тех или иных физических процессах могут участвовать несколько величин, причем одни из них могут изменять свои числовые значения, а другие нет. Первые из них будем называть переменными, а вторые—постоянными, хотя такое разделение величин более или менее условно.

Для математики свойственно абстрагироваться от физической природы рассматриваемых величин; величина характеризуется множеством принимаемых ею числовых значений. Если это множество сводится к одному единственному значению, то величина называется постоянной; если множество

еезначений состоит более чем из одного элемента, то величина называется переменной. Здесь и дальше мы ограничим себя действительными величинами, множества значений которых состоят исключительно из действительных чисел.

Множество значений, принимаемых переменной величиной, называется

ееобластью изменения.

Приведем несколько примеров. Число сторон многоугольника может иметь значения 3, 4, 5,.... Частное от деления числа, не равного нулю, на модуль этого же числа может принимать только два значения: + 1 и -1. Квадрат действительного числа может быть равен любому неотрицательному числу.

Вообще, область изменения переменной величины х может быть произвольным числовым множеством. Если величина принимает только натуральные значения 1, 2, 3,..., то ее называют целочисленной переменной. Часто приходится рассматривать переменные, множество значений которых представляет собой некоторый (конечный или бесконечный) интервал числовой оси.

Уточним в связи с этим понятие интервала (или промежутка).

Пусть а, b два действительных числа, причем а < b. Тогда можно рассматривать следующие виды интервалов.

Открытым интервалом (а, b) называется множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < b, т. е. совокупность всех точек числовой оси, лежащих строго между точками а и b (концы исключаются). Интервал (Х0 - h, X0 + h) длины 2h с серединой x0 называется окрестностью (h- окрестностью) точки Х0.

Замкнутым интервалом или сегментом [а, b] называется множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а <= х <= b, т. е. совокупность всех точек, расположенных между а и b, включая а и b.

Иногда рассматриваются полуоткрытые интервалы [а, b) и (а, b], соответственно определяемые неравенствами a <= x < b, а < x <= b.

91