Материал: Введение в математику. Пантелеев И.Н., Ястребков В.Н

Бесконечный интервал (а, ) определяется как множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравенству х > а; в случае неравенства х >= а бесконечный интервал обозначают [а, ). Вся числовая ось также может рассматриваться как бесконечный интервал и обозначаться через

(- , ).

4.2. Определение функции. Геометрия, механика, физика, различные области науки и техники дают нам множество примеров, когда рассматриваемые в том или ином вопросе переменные величины находятся в зависимости, так что значение одной из величин определяет значение другой. Площадь круга полностью определяется величиной его радиуса: S = R2. Скорость точки, движущейся равноускоренно, зависит от времени по закону v=v0 +at . Давление идеального газа при постоянном объеме V0 изменяется в зависимости от температуры: P=RT/V0 . Во всех указанных примерах, несмотря на различие смысла входящих в них величин, есть нечто общее: задание значения одной из двух рассматриваемых переменных величин определяет значение второй величины. Такого рода зависимости между двумя переменными называют функциональными зависимостями.

Сформулируем определение понятия функции: переменная у называется функцией переменной х, если каждому значению х (из некоторой области Х изменения х) поставлено в соответствие по определенному закону значение у.

При этом х называется независимой переменной (иногда аргументом), а область

изменении х, называется, как обычно, областью изменения у.

В принятом определении функции существенны два момента:

во-первых, в нем указана область изменения Х независимой переменной х, и, во-вторых, в нем требуется наличие определенного правила соответствия между у и х.

Тот факт, что у есть функция от х, выражают в записи так: y f x

(произносится: «игрек есть эф от икс»). Буквой f в этом равенстве обозначен именно закон соответствия

между х и у.

Схематически можно изобразить это так: будем рассматривать две числовые оси х и у (рис. 11); пусть X область определения функции y=f(x). Каждой точке х из этой области ставится в соответствие некоторая точка оси у (закон соответствия условно изображается стрелкой).

Значение функции y=f(x), соответствующее определенному значению х=x1 из области определения функции, обозначается. так:

92

всех значениях х.

Найти: а) f (1); б) f 2 / 2 ; в) f (а); г) f(2/x).

При одновременном рассмотрении нескольких различных функций используют различные буквы для обозначения каждого из законов

Две функции считают равными (совпадающими), если их области определения совпадают и значения при любых одинаковых значениях аргумента равны.

Пример 2. Функции f(x)=2 и (х) = 1 + sin2 x+ cos2 x совпадают; нет

93

показаны точки с абсциссами х, х0, х1, их ординаты соответственно равны у, у0, 0. График показан на интервале [а, b); то, что точка х = b исключена, условно показано стрелкой в правом конце кривой линии графика функции y = f (x).

График функции дает удобное и наглядное представление о ее свойствах, и ниже уделено много внимания методам построения графиков функций.

Определение функции не дает указания на то, в какой форме задан закон соответствия между значениями аргумента и зависимой переменной; практически привычной формой задания этого закона является для нас запись функциональной зависимости в виде некоторой математической формулы, например:

В этом случае говорят, что функция задана аналитическим выражением. При этом термин «аналитическое выражение» имеет приблизительно тот же смысл, что и «алгебраическое выражение», с той разницей, что при записи аналитического выражения не ограничиваются только алгебраическими действиями (т. е. рациональными действиями и операцией извлечения корня), но пользуются, например, такими действиями, как логарифмирование, отыскание синуса или тангенса данного значения аргумента и т. п. Вообще, при определении новой математической операции для нее вводится специальный символ, который в дальнейшем уже можно использовать для записи аналитического выражения.

Для функции, заданной аналитическим выражением, область определения может состоять только из значений х, входящих в о. д. з. этого выражения. Область определения функции оказывается в этом случае частью области допустимых значений аналитического выражения, задающего функцию, или совпадает с этой областью. Например, площадь S круга, как функция радиуса R, задается выражением S = R2. Область определения этой функции по смыслу дела есть 0 < R < ; взятое же само по себе аналитическое выражение R2 определено при всех значениях R. Если функция задана аналитическим выражением относительно аргумента х и область определения не указана, то подразумевают, что область определения совпадает с о. д. з. задающего ее выражения.

Иногда функция задается разными аналитическими выражениями в разных частях области определения. Самый простой пример: будем рассматривать |х| как функцию от х. Тогда

способами и в разных видах.

Кроме аналитического способа задания применяют графическое и табличное задание функций. Если функция задана графиком, то можно по чертежу находить значения у, отвечающие данным значениям х, разумеется, приближенно.

Табличный способ задания функции заключается в том, что для

94

соответствующие значения у (с определенной степенью точности). Небольшой фрагмент таблицы может выглядеть так:

В данном примере шаг таблицы равен 0, 02.

Графическое и табличное задание функций часто возникает в результате проведения измерений, опытов, применения самопишущих приборов.

Для многих функций, заданных аналитически, также составлены таблицы, облегчающие применение этих функций (таблицы квадратных и кубических корней, таблицы логарифмов, тригонометрических функций и др.). Необходимо приобрести навыки в пользовании таблицами функций.

4.4. Элементарное исследование поведения функции. Систематическое и полное исследование функций составляет одну из главных задач области математики, называемой математическим анализом. В

элементарной математике также рассматривают простейшие вопросы, связанные с исследованием функций.

При этом под исследованием функции понимают установление ряда ее свойств. Итогом такого исследования может быть построение графика функции. В связи с этим вспомним некоторые понятия, относящиеся к функциям.

а) Нулем (или корнем) функции f (х) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль. Графически нули функции суть точки пересечения ee графика с осью Ох (например, точка

х1 на рис. 12).

б) Функция f(х), область определения которой симметрична, относительно начала отсчета О (например, является сегментом [- а, а]), называется четной, если для любого х из ее области определения выполнено равенство

95

График четной функции симметричен относительно оси Оу (рис. 13), так как вместе с точкой {х, f (х)} ему будет принадлежать и симметричная точка

(- х, f (x)). Обратно, если график симметричен относительно оси Оу, то функция четная.

в) Функция f (x), область определения которой на оси Ох симметрична относительно начала О, называется нечетной, если для любого x из ее области определения выполнено равенство

График нечетной функции симметричен относительно начала координат, так как вместе с любой его точкой (х, f (х)) ему принадлежит и симметричная точка ( х, f (х)) (рис. 14). Обратно, если график функции симметричен относительно О, то функция нечетная.

Примеры четных и нечетных функций:

Многие функции, например у = х2 + x, у = sin х + cos х не являются ни четными, ни нечетными функциями.

г) Функция называется возрастающей в некотором промежутке, лежащем в ее области определения, если для любых двух значений x1, х2, из этого промежутка из неравенства х1 < х2, следует f (x1) < f (x2) (большим значениям аргумента отвечают большие значения функции). Если из х1 < х2 следует лишь неравенство f (x1) <= f (x2), то функция называется неубывающей. Аналогично, убывающей называется функция, для которой из х1 < х2 следует f (x1) > f (x2), а невозрастающей функция, для которой при х1 < х2 выполняется неравенство f (x1) >= f (x2). Интервал, на котором функция убывает или возрастает, называется интервалом монотонности функции. Так, например, для функции, график которой изображен на рис. 12, интервалами монотонности служат интервалы (а, x0) и (x0, b) (на первом из них функция монотонно возрастает, на втором монотонно убывает).

Функция y = x x , которая также может

является неубывающей функцией на всей числовой оси. Она возрастает на положительной полуоси (рис. 15).

д) Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции y = (x), если функция определена в самой этой точке и в некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство

На рис. 16 точки x1, x3 суть точки максимума, а точки x2, x4 точки минимума функции. Максимум функции ее наибольшее значение по сравнению с «соседними» точками слева и справа, но не обязательно по сравнению с отдаленными точками. Практически, если находятся интервалы монотонности, то на их стыке часто обнаруживаются точки максимума или минимума, как на рис. 16. Термин «экстремум» функции объединяет понятия максимума и минимума:

точки x1, x2, x3, x4 суть точки

экстремума функции f (x).

е) Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность. На рис. 17, а прямые х = 1 и у = 0 асимптоты графика функции. На рис. 17, 6 показан график с асимптотой у = х (биссектриса первого координатного угла).

При исследовании функции необходимо ответить на следующие вопросы.

96