Материал: Введение в математику. Пантелеев И.Н., Ястребков В.Н

I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1.1.Натуральные числа. Натуральные числа выражают количество подлежащих счету однотипных или не однотипных предметов; таковы, например, числа один, два, десять, двадцать,…, сто, двести пятьдесят шесть, тысяча и т. д.

Понятие натурального числа относится к простейшим, первоначальным понятиям математики и не подлежит определению через другие, более простые понятия.

Натуральные числа могут быть естественным образом расположены по их возрастанию; каждое следующее натуральное число получается из предыдущего прибавлением единицы. Записанные в порядке возрастания;

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ....

натуральные числа образуют натуральный ряд. Многоточие показывает возможность неограниченного продолжения этого ряда. В этом смысле говорят, что имеется бесконечное множество натуральных чисел. Единица – наименьшее натуральное число; наибольшего числа натуральный ряд не имеет.

Напомним принцип записи натуральных чисел в десятичной системе счисления при помощи десяти цифр

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Цифры, участвующие в записи числа, при чтении их справа налево указывают последовательно, сколько в данном числе содержится единиц, затем десятков, сотен, тысяч и т. д. Вообще, цифра, стоящая на i-м месте, считая справа, покажет, сколько данное число содержит единиц разряда 10m-1. Так,

где c1, c2, ..., cm – цифры, при помощи которых число a m записывается в виде c1c2 ... cm (здесь черта сверху ставится, чтобы не смешивать число a m с произведением чисел c1, c2, ..., cm).

Замечание. Десятичная система счисления – не единственно возможная. В древности (в Вавилоне) использовалась система счисления, в которой, наряду с десяткой, в основу было положено число 60 (шестидесятеричная система счисления). Ее влияние сохранилось до сих пор в делении часа на 60 минут, окружности на 360 градусов и т. д. В настоящее время при использовании электронных вычислительных машин, в процессе программирования применяются двоичная и восьмеричная системы счисления. Приведем для примера запись нескольких чисел в троичной системе. В этом случае используем только три цифры 0, 1, 2 в их обычном смысле. Число 3 в троичной системе играет роль десятки в десятичной системе счисления и должно обозначаться

49

как 10. Вместо 32 = 9 будем писать 100 и т. д. Вот запись нескольких чисел в

Вдальнейшем мы будем пользоваться исключительно десятичной системой счисления.

Варифметике и алгебре рассматривают различные действия над числами:

сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и т. д. Первые четыре из этих действий называют арифметическими или рациональными. Но только два из них – сложение и умножение – безусловно выполнимы в области натуральных чисел: сумма и произведение натуральных чисел суть снова натуральные числа.

Сформулируем законы, которым подчиняются действия сложения и умножения; строгие определения этих действий и обоснование их свойств (выводимых из небольшого числа аксиом) рассматриваются в теоретической арифметике и здесь опускаются.

—от перестановки слагаемых сумма не изменяется. Переместительный (или коммутативный) закон умножения:

—от перестановки сомножителей произведение не изменяется. В дальнейшем, по большей части, в записи произведения a b точку опускаем и пишем просто ab .

Сочетательный (или ассоциативный} закон сложения;

—сумма не зависит от группировки слагаемых.

Этот закон позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без скобок. Например:

a b c a b c a b c

Сочетательный (или ассоциативный) закон умножения;

—произведение не зависит от группировки сомножителей.

Этот закон позволяет писать произведение нескольких сомножителей без

50

Этот закон лежит в основе правила раскрытия скобок, которым часто пользуются в вычислениях и преобразованиях.

1.2. Простые и составные числа. Признаки делимости.

Если а и b—натуральные числа, причем a=bq,

где q—также натуральное число, то говорят, что q—частное от деления числа а па число b, и пишут: q=a/b. Также говорят, что а делится на b нацело или без остатка. Всякое число b, на которое а делится без остатка, называется делителем числа а. Само число а по отношению к своему делителю называется кратным. Таким образом, числа, кратные b, суть числа b, 2b, Зb, ...

Числа, кратные числу 2 (т. е. делящиеся на 2 без остатка), называются четными. Числа, не делящиеся на 2 нацело, называются нечетными. Каждое натуральное число либо четно, либо нечетно.

Если каждое из двух чисел а1, а2 является кратным числа b, то и сумма а1+ а2 – кратное числа b. Это видно из записи

Всякое отличное от единицы натуральное число имеет по меньшей мере два делителя: единицу и самоѐ себя. Если число не имеет никаких других делителей, кроме себя и единицы, оно называется простым. Число, имеющее какой-нибудь делитель, отличный от себя и единицы, называют составным числом. Единицу принято не относить ни к простым, ни к составным числам. Вот несколько первых простых чисел, записанных в порядке возрастания:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...

Число 2 – единственное четное простое число; все остальные простые числа – нечетные.

То, что простых чисел имеется бесконечное множество, было установлено еще в древности (Евклид, III век до нашей эры).

Идея доказательства Евклида бесконечности множества простых чисел весьма проста. Допустим, что простых чисел – конечное число; перечислим их

Очевидно, что это тело не делится ни на одно из чисел (1.2.1). Следовательно, либо оно само является простым, либо, если оно составное, то имеет простой делитель, отличный от чисел (1.2.1), что противоречит допущению о том, что в записи (1.2.1) перечислены все простые числа.

Это доказательство представляет большой интерес, так как дает пример доказательства теоремы существования (бесконечного множества простых

51