Материал: Введение в математику. Пантелеев И.Н., Ястребков В.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

1)Для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби вида A nB умножаем числитель и знаменатель на nB n 1 .

A n B n 1

n B

n B n 1

Пример 1.

4a b

2ab 3

4a 2c2 .

3 2ac

2ac

2) В случае дробей вида

умножаем числитель и

B C D

знаменатель на иррациональный множитель B CD или B CD соответственно, т. е. на сопряженное иррациональное выражение.

Смысл последнего действия состоит в том, что в знаменателе произведение суммы на разность преобразуется в разность квадратов, которая уже будет рациональным выражением.

Пример 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражения:

а)

;

б)

y 2

Решение. а) Умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение

x2 y2

x .

Получаем (при условии, что y

x2 y 2

x ;

y 2

б)

3 .

3) В случае выражений типа

C 3 D

3 B

C 3 D

знаменатель рассматривается как сумма (разность) и умножается на неполный квадрат разности (суммы), чтобы получить сумму (разность) кубов ((2.1.11), (2.1.12)). На тот же множитель умножается и числитель.

Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражений:

а)		3		;	б)		1		.
	3					3		3
		5
			1				a 2 b

Решение. а) Рассматривая знаменатель данной дроби как сумму чисел 35 и 1, умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности этих чисел:


		3 3 52
3	=	3 3 52			3 5	1			3 3 25		3 5		1	,

3 5 1		3		1 3 52 3					3		3
			5				5	1
			5				5	1		5		1

или окончательно:


										3 3 25				3 5	1	3			3
				3					=	3 3 25				3 5	1	3		25	3	5 1	;

		3 5				1							6						2
		3 5				1							6						2

		3		a2				2 3				4 3 b2					3 a2					3 b2
	1	3		a2				2 3			ab	4 3 b2					3 a2		2 3 ab 4			3 b2
б)			=																				.
									3					3
	3 a 23 b				3							3							a 8b
	3 a 23 b				3		a			2		3	b						a 8b
							a			2			b

В некоторых случаях требуется выполнить преобразование противоположного характера: освободить дробь от иррациональности в числителе. Оно проводится совершенно аналогично.

Пример 4. Освободиться от иррациональности в числителе дроби

																													a			b						a		b				.
																																		2b										.
																																		2b
																														a					b				a				b
Решение.										a					b					a				b		=				a					b				a				b												1								.
										a					b					a				b																															1
																2b
																2b											2b a b														a b											a b								a b
Упражнения:
1. Упростить выражения:
а)						x2					4								,				рассмотрев два случая:																							1)					x			0 и 2) x								0 ;

	x				x2					4 2						4
					x2					4 2
							2x
							2x

																												x					x2					1 x										x2		1
б)		x 1							x 1									x 1								:		x					x2					1 x										x2		1			;

		x 1							x		1
		x 1							x		1							x			2			1				x					x			2		1				x						x	2	1
																		x						1				x					x					1				x						x		1

	3 8										33 3															3 8

							3			5												5		8							3					5																					3 9
в)							3			5												5		8							3					5				3 9						2							2		9		3 9				.

																2 3 57																								3 3						4 2				4 2					3		81
																2 3 57																								3 3						4 2				4 2					3		81
2.		Найти										значение													выражения:															z3 a 2 3b 1 a2																		b2 z					b1 2 при
z a2 3b 1 2 , где a														0 и b								0 .
3. Освободить от иррациональности в знаменателе следующие
выражения:

а)				2a			1						;				б)									1											; в)										3 x			3				y					.
																																										3													3
			a 2																					2		3								5											x2											y 2
			a 2				1	a																2		3								5											x2				3 xy							y 2

3.ЛОГАРИФМЫ

3.1.Определение и свойства логарифмов. В соотношении

a x N

может быть поставлена задача отыскания любого из трех чисел a, N, х по двум другим, заданным. Если даны а и х, то N находят действием возведения в степень. Если даны N и х, то а находят извлечением корня степени х (или возведением в степень 1/х). Теперь рассмотрим случай, когда по заданным а и N требуется найти х.

Пусть число N положительно: N > 0, число а положительно и не равно единице: а > 0, а 1.

Опре де лен ие . Логарифмом числа N по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить число N; логарифм обозначается через loga N:

a	loga N	N	(3.1.1)

Таким образом, в равенстве (3.1.1) показатель степени х находят как логарифм N по основанию а. Записи

a x N и x loga N

(3.1.2)

имеют одинаковый смысл. Равенство (3.1.1) иногда называют основным тождеством теории логарифмов; в действительности оно выражает определение понятия логарифма. По данному определению основание логарифма а всегда положительно и отлично от единицы; логарифмируемое число N положительно. Отрица-

тельные числа и нуль логарифмов не имеют. Можно доказать, что всякое число N > 0 при данном основании

а(а > 0, а 1) имеет вполне определенный логарифм. Поэтому равенство a x a y влечет за собой х = у. Заметим, что здесь существенно условие а 1, в противном случае вывод х = у был бы не обоснован, так

как равенство 1x	1y верно при любых значениях х и у.
Пример 1. Найти log2 1 .
			8
Решение.		Для	получения числа	1	8	следует возвести основание 2 в
					8
степень –3:	2 –3	= l/23	= l/8. Поэтому log2	1	= –3.
				8

Можно проводить записи при решении таких примеров в следующей форме:

2x 1	1	3	2 3 ,	x	3 .
8	2

Пример 2. Найти log1 3 933 .

Решение. Имеем

		7 3
9 3 3 3231 3 37 3	13	7 3	log1 3 93 3 = 7 3 .
9 3 3 3231 3 37 3	13	;	log1 3 93 3 = 7 3 .

В примерах 1 и 2 мы легко находили искомый логарифм, представляя логарифмируемое число как степень основания с рациональным показателем В общем случае, например для log2 3, log3 5 и т. д , этого сделать не удастся, так как логарифм имеет иррациональное значение. Обратим внимание на один связанный с этим утверждением вопрос. В п. 1.11 мы дали понятие о возможности определения любой действительной степени данного положительного числа. Это было необходимо для введения логарифмов, которые, вообще говоря, могут быть иррациональными числами.

Рассмотрим некоторые свойства логарифмов.

Свойство 1. Если число и основание равны, то логарифм равен единице, и, обратно, если логарифм равен единице, то число и основание равны.

Доказательство. Пусть N = a. По определению логарифма имеем

a	loga a	a a		1	, откуда
a		a a			, откуда
								loga a = l.	(3.1.3)
	Обратно, пусть loga N = 1. Тогда по определению N = aloga N = а1 = а.
	Свойство 2. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.
	Доказательство. По определению логарифма aloga 1 = 1 = а0 (нулевая степень любого положительного
основания равна единице, (см. п.1.9. (1.9.1)). Отсюда
								loga l = 0 ,	(3.1.4)
что и требовалось доказать.
		Верно и обратное утверждение: если loga N = 0, то N = 1. Действительно,
имеем N = a			loga N			= а	0	= 1.
имеем N = a						= а		= 1.
		Прежде			чем			сформулировать следующее свойство	логарифмов,

условимся говорить, что два числа а и b лежат по одну сторону от третьего числа с, если они оба либо больше с, либо меньше с. Если одно из этих чисел больше с, а другое меньше с, то будем говорить, что они лежат по разные стороны от с.

Свойство 3. Если число и основание лежат по одну сторону от единицы, то логарифм положителен; если число и основание лежат по разные стороны, от единицы, то логарифм отрицателен.

Доказательство свойства 3 основано на том, что степень a x больше единицы, если основание больше единицы и показатель положителен или основание меньше единицы и показатель отрицателен. Степень меньше единицы, если основание больше единицы и показатель отрицателен или основание меньше единицы и показатель положителен.

Требуется рассмотреть четыре случая:
a	1,	N	1,	loga	N	0 ;
a	1,	N	1,	loga	N	0 ;
a	1,	N	1,	loga	N	0 ;
a	1,	N	1,	loga	N	0 .

Ограничимся разбором первого из них, остальные читатель рассмотрит самостоятельно.

Пусть a 1, N 1; тогда в равенстве a	loga N	= N показатель степени не может быть ни отрицательным,

ни равным нулю, следовательно, он положителен, т. е. Loga N > 0, что и требовалось доказать.

Пример 3. Выяснить, какие из указанных ниже логарифмов положительны, какие отрицательны: a) log1215; б) log10002; в) log3,10,8;

г) log23 72 д) log 0,3 2,1.

Решение. a) log 12 15 > 0, так как число 15 и основание 12 расположены по одну сторону от единицы;

б) log 1000 2 > 0, так как 1000 и 2 расположены по одну сторону от единицы; при этом несущественно, что основание больше логарифмируемого

числа;

в) log 3,1 0,8 < 0, так как 3,1 и 0,8 лежат по разные стороны от единицы; г) log23 72 > 0; почему?

д) log 0,3 2,1 < 0; почему?

Следующие свойства 4 – 6 часто называют правилами логарифмирования: они позволяют, зная логарифмы некоторых чисел, найти логарифмы их произведения, частного, степени каждого из них.

Свойство 4 (правило логарифмирования произведения). Логарифм произведения нескольких положительных чисел по данному основанию равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию.

Доказательство. Пусть даны положительные числа N1, N2, ..., Nk. Для лога-рифма их произведения напишем определяющее логарифм равенство (3.1.1):

a	log a N1N2	...Nk	N1N 2	...N k .

Отсюда найдем

log

N N

...N

log

loga N2

...a

loga Nk

loga N1 loga N2 ... loga Nk

a 1

a 1 a

Сравнив показатели степени первого и последнего выражений, получим требуемое равенство:

loga N1N2 ...Nk

loga N1

loga N2

...loga Nk .

(3.1.5)

Заметим, что условие N1

> 0, ...,

Nk >

существенно,

логарифм

произведения двух отрицательных чисел

< О,

N2 < О имеет смысл, но в

этом случае получим

loga N1N2 log N1 N2

loga

В общем случае, если произведение нескольких сомножителей положительно, то его логарифм равен сумме логарифмов модулей этих сомножителей.

Свойство 5 (правило логарифмирования частного). Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, взятых по тому же основанию.

Доказательство. Последовательно находим

loga

log

loga N2

откуда

loga

loga N1

loga N2 ,

(3.1.6)

что и требовалось доказать.

Свойство 6 (правило логарифмирования степени). Логарифм степени какого-либо положительного числа равен логарифму этого числа, умноженному на показатель степени.

Доказательство. Запишем снова основное тождество (1.1) для числа N n:

a	loga N n	N	n	a	loga N	n	a	nloga N	;

отсюда

Источник: https://studfile.net/preview/16565882/

Смотрите также:

05 Л_р_к Введення клієнтів у домен Windows Server
MM_207
moc8080rev1
Защита трудовых прав женщин и несовершеннолетних
История эстетики
Комплексное управление рисками
Лабораторная_5_Кафка
Моделирование вертикальных профилей планктона с учетом суточных вертикальных миграций мезозоопланктона
Определение понятия город в отечественной историографии
Основные технологии управления переменами в организации