Материал: Введение в математику. Пантелеев И.Н., Ястребков В.Н

4) Извлечение корня из степени. Пусть показатель степени т является кратным показателя корня п: m = nk. Тогда

т. е. при извлечении корня из степени показатель степени следует разделить на показатель корня.

Пусть в общем случае т не является кратным п; выполним деление т на

равен k (п. 3). Это значит, что m = kr и n = ks, причем r и s – целые взаимно

простые числа. Тогда ma n = r a s . Это означает, что если показатели корня и подкоренного выражения имеют общий делитель, то на него их можно

7) Приведение корней к общему показателю. Пользуясь только что установленным свойством, можно два или несколько корней приводить к общему показателю, который представляет собой н. о. к. показателей всех данных корней.

Это преобразование полезно применять при умножении корней с разными показателями.

Пример 2. Упростить произведение 2 34 62 .

Решение. 234 62 623 642 62 628 324 232 . Здесь н. о. к.

показателей корней равнялось 6; в процессе преобразования мы применили также правило 6) сокращения показателей степени и корня и правило 1). Аналогичным образом выполняется и деление корней.

1.11. Степени с рациональными показателями. Степени с дей-

ствительными показателями. Будем, как и в п. 10, рассматривать только корни из положительных чисел. Мы видели, что в случае, когда т делится нацело на п,

na m a mn .

72

Обобщая это правило, можно ввести следующее определение степени с положительным рациональным показателем p/q:

В случае отрицательного рационального показателя степени – p/q полагают (по аналогии со случаем целого отрицательного показателя степени)

На степени с рациональными показателями распространяются все правила действий над степенями с натуральными и вообще целыми показателями. Для их обоснования достаточно применить правила п. 1.11 действий над корнями. Докажем, например, свойство

a pq a pq a pq pq .

Имеем

a pq qa p qqa pp.

Рассматривают также степени положительного числа а при произвольных действительных показателях. В основу определения ax при иррациональном х кладется последовательное приближение х рациональными числами. Так,

По мере продолжения этого процесса левая и правая части неравенств, выраженные бесконечными десятичными дробями, будут иметь все большее и большее число совпадающих десятичных знаков, которые и будут приниматься

за десятичные знаки, определяющие иррациональное число 32 . Более подробно рассматривать этот вопрос мы не можем, но отметим, что аx имеет действительное вполне определенное значение при а > 0 и любом действительном х.

73

Замечание. Извлечение корня нечетной степени возможно и из отрицательного числа. Поэтому выражению аp/q при а < 0 также можно

приписать смысл с помощью равенства аp/q = qa p в случае, когда несократимая рациональная дробь p/q имеет нечетный знаменатель. В случае четного q и для иррациональных значений показателя степень отрицательного основания не определяется. Нуль в любой положительной степени равен нулю; нулевая и отрицательные степени нуля не определены.

Пример. Произвести действия, пользуясь отрицательными и дробными показателями степени: 5 89

2.ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

2.1.Формулы сокращенного умножения. В некоторых часто встречающихся случаях применяют формулы сокращенного умножения двух многочленов. Напомним эти формулы.

а) Квадрат суммы и квадрат разности. Квадрат двучлена (бинома) а+b

можно записать в виде

(a+b)2 = (a+b)(a+b).

На основании правила умножения многочленов можно раскрыть стоящие справа скобки, а именно каждый член первого бинома умножить на каждый член второго бинома и результаты сложить. Получим

Формулу (2.1.1) иногда записывают в виде

Формула (2.1.2) для квадрата двучлена (бинома) распространяется на случай, когда в квадрат возводится любой многочлен (полином). Покажем это для случая трехчлена. Имеем

(a+b+c)2 = [(a+b)+c]2 = (a+b)2 + c2 + 2(a+b)c =

74

Вообще, квадрат алгебраической суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов этих слагаемых плюс сумма удвоенных попарных произведений этих слагаемых (с учетом правила знаков!).

Пример. Раскрыть скобки в выражении (2—Зх—5х2 - х3)2.

Решение. Имеем

После приведения подобных членов запишем ответ:

2 3x 5x2 x3 2 4 12x 11x2 34x3 19x4 10x5 x6 .

б) Куб суммы и куб разности. Чтобы вывести формулу для (a+b)3 заметим, что

(a + b)3 = (a + b)(a + b)2.

Но выражение для (а + b)2 уже найдено – (1.2); поэтому

(а + b)3 = (а2 + b2 + 2ab) (а + b).

Перемножая почленно многочлены, стоящие в правой части этого

равенства, получим

(a + b)3 = а3 + b2a + 2a2b + 2ab2 + a2b + b.

Последний результат можно переписать так:

в) Разность квадратов. Следующая формула:

легко проверяется умножением двучленов в ее левой части.

г) Сумма и разность кубов. Также рекомендуется проверить самостоятельно следующие формулы:

Трехчлены (a2 – ab + b2) и (a2 + ab + b2) в левых частях равенств (2.1.11), (2.1.12) часто называют ―неполным квадратом‖ разности или суммы соответственно.

2.2. Разложение многочлена на множители. В некоторых случаях данный многочлен может быть представлен как произведение одночлена на многочлен или как произведение двух многочленов. В первом случае говорят, что за знак скобок можно вынести общий множитель, во втором, – что многочлен разлагается на множители. Нам известны некоторые приемы разложения многочлена на множители, в том числе метод группировки и применение формул сокращенного умножения. Ограничимся разбором нескольких типичных примеров (общего универсального метода, чтобы узнать, разлагается ли многочлен на множители и найти их, не имеется).

Пример 1. Разложить на множители x2 2xy 2 yz z 2 .

75

Решение. Производим группировку слагаемых:

Мы применили здесь формулу разности квадратов (2.1.10) и прием вынесения общего множителя за скобку.

Пример 2. Разложить на множители:

б) Добавим к нашему выражению и вычтем выражение Заb(а + b), чтобы получить куб суммы по формуле (2.1.8):

В некоторых случаях разложение на множители не удается в действительной области, но может быть осуществлено в комплексной области.

Так, например, a2 b2 нельзя разложить на действительные множители, но

но она же разлагается и на действительные множители:

a2 b2 ab2 a2 b2 ab 2 .

2.3. Дробные алгебраические выражения. Алгебраическое выражение в записи которого наряду с действиями сложения, вычитания и умножения используют также деление на буквенные выражения, называется дробным алгебраическим выражением. Таковы, например, выражения

Алгебраической дробью мы называем алгебраическое выражение, имеющее вид частного от деления двух целых алгебраических выражений (например, одночленов или многочленов). Таковы, например, выражения

76