Материал: Введение в математику. Пантелеев И.Н., Ястребков В.Н

Решение. Находим по формулам (1.7.4):

Упражнения:

1.Найти н.о.д. чисел: а) 48 и 54; б) 245, 105 и 441.

2.Найти н.о.к. чисел: а) 90 и 120; б) 363, 440 и 198.

3.Доказать, что н.о.к. нескольких чисел делится на их н.о.д.

4.Показать, что если (a, b) = k, то (a/k, b/k) = l.

5.Чему равны целые и дробные части чисел:

D(– 7 3 ), E ( 3 ), F (– 5 ).

Ук а з а н и е. Отрезок длиной 3 можно найти как гипотенузу прямо-

угольного треугольника с катетами 1 и 2 (построение отрезка длиной 2 рассматривалось в тексте).

14.Построить на плоскости точки А(–3, –4), В (0, 5), С (5, 0), D(-2, 6), E(3, 3), F(–4, 3), G(–6, 6), H (6, -6).

15.Дана точка A (2, –3). Указать координаты точек, симметричных с А относительно оси Ох, оси Оу, начала координат, биссектрисы I – III координатных углов.

67

16.Показать, что точки А (х, у) и В( –у, –х) симметричны относительно биссектрисы II – IV координатных углов.

17.Построить точки по их полярным координатам: А (2, 5π/6), B(1, π),

С(3, 0), D( 2 , –π/4). Найти декартовы координаты этих точек.

18. Найти полярные координаты точек (заданных декартовыми координа-

тами) A (2, 0), B(–1, 0), С (0, 2), D(–1, –1).

1.8. Степени с натуральными показателями. Пусть а – произвольное действительное число, а п – натуральное число. Произведение

a a a ...a

n

п сомножителей, равных а, называется п-й степенью числа а и обозначается через аn. При этом а называется основанием, a n – показателем степени. При n = 1 просто полагают a1 = а. Таким образом, степень аn определяется при любых натуральных значениях п. Поскольку действие возведения в натуральную степень определено через действие умножения, то оно рассматривается как рациональное (арифметическое) действие. Отметим некоторые свойства этого действия.

1) При любых натуральных п, т

Таким образом, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степени складываются.

2) Если n > m и а 0, то

68

Доказательство свойств 4) и 5) предоставляется читателю.

1.9. Степени с целыми показателями. Свойство 2) п. 1.8:

установлено при п > т. При п=т или п < т его правая часть не определена, но левая часть сохраняет смысл. Это дает повод ввести определение степени с нулевым и целыми отрицательными показателями степени.

Нулевую степень числа a 0 полагают по определению равной единице:

Таким образом, равенство (1.8.2) становится теперь верным и при п = т. Степень числа a 0 с отрицательным показателем –k определяется

равенством

Нулевая и отрицательная степени числа 0 не определяются.

Определение (1.9.2) делает равенство (1.8.2) верным и при п < т. Так, если m = n + k, то имеем

Нетрудно проверить, что все правила действия возведения в натуральную степень, указанные в п. 9, сохраняют силу при введенных определениях и при любых целых показателях степени.

Так, например, проверяем, что

т. е. и для отрицательных показателей степени сохраняет силу правило 1) умножения степеней с одинаковыми основаниями.

Пример. Вычислить: 2 3 35 64 .

2 39 6 2

Решение. Используем то, что 6= 2 3, и применяем правила действий с целыми степенями:

1.10. Корни. Если п > 1 – натуральное число, а а и b – действительные числа, причем

bn a

69

то число b называется корнем n-й степени из числа а. Таким образом, корнем п-й степени из числа а называется каждое число b такое, что его n-я степень равна а.

Действие отыскания корня из числа а называется действием извлечения корня n-й степени из а. Действие извлечения корня степени п является действием, обратным по отношению к действию возведения числа в степень n.

Если n – нечетное число, то, как можно доказать, для любого действительного числа а существует единственное значение корня степени п (в действительной области).

Если п – четное, то действие извлечения корня степени n из отрицательного числа невозможно, так как четная степень любого числа неотрицательна. Можно показать, что для любого положительного числа а корень четной степени n имеет два значения, равных по абсолютной величине и противоположных по знаку. Например, числа +3, —3 суть корни квадратные из числа 9. Положительный корень четной степени из положительного числа называется арифметическим корнем (или арифметическим значением корня).

Его единственность видна из такого соображения. Если бы имелось два положительных корня b1 и b2, то одно из чисел b1, b2 было бы больше другого, например, b1 > b2. Но тогда и b12 > b22, т. е. оба числа не могли бы быть корнями степени п из одного и того же числа а. Это рассуждение применимо и к случаю корней нечетной степени.

Наметим обоснование утверждения о существовании корня na произвольной степени из любого положительного действительного числа. Прежде всего, может случиться, что корень существует в области натуральных чисел. Если это так, то этим задача решается; если в области натуральных чисел корня не имеется, то найдутся два последовательных целых числа k и k+1 такие, что kn < а, (k+1)n > а. Теперь будем рассматривать десятичные дроби вида k.a1, где a1 = 0, 1, ..., 9. Либо среди них имеется искомый корень, либо снова получим для некоторого a1

Далее будем искать приближение корня в виде дроби с двумя знаками после запятой и т. д. Таким путем в принципе можно построить ряд десятичных приближений по недостатку и по избытку для некоторого действительного числа, которое и следует принять за значение искомого корня (аналогично

примеру 2 в п. 6).

Корень степени n обозначается с помощью знака радикала n ; при этом

для придания символу na вполне определенного смысла условимся понимать под na :

1)единственное значение корня в случае нечетного n (а в этом случае – любое действительное число).

2)арифметический корень степени n из а в случае четного п (в этом случае а > 0).

Корень из нуля при любом показателе n равен нулю.

70

В случае, если мы хотим рассматривать оба значения корня четной

степени из положительного числа, то пишем ± na ; если перед корнем четной степени знак не написан, то всегда имеют в виду арифметическое значение корня.

В случае корня степени 2 (квадратного корня) пишут просто na ;

например, 9 = 3. Корень третьей степени называют кубическим корнем. Если а – произвольное действительное число, то

na n a

при нечетном n и

nan a

при четном n (в частности, в случае квадратного корня). Так, например,

Укажем основные правила действий над корнями; для простоты предположим, что числа под знаком корня – положительные.

1) Извлечение корня из произведения. Корень из произведения равен произведению корней из сомножителей:

Доказательство. Для доказательства этого (и дальнейших) свойства достаточно проверить, что при возведении обеих частей равенства (1.10.1) в степень т получим одно и то же число. При этом мы пользуемся соотношением

откуда и вытекает требуемое свойство.

2) Возведение корня в степень. Для возведения корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение, сохраняя показатель корня.

Это правило записывается так:

ma k mak .

Свойство 2) непосредственно вытекает из свойства 1), а также может быть проверено возведением обеих частей равенства (10.2) в степень т.

3) Извлечение корня из частного. Корень из частного равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя:

71