Материал: Введение в математику. Пантелеев И.Н., Ястребков В.Н

Отрицательное значение корня квадратного из двух мы представим в

виде

2 1, 4142135...

или, пользуясь искусственной формой записи чисел, в виде

2 2,5857864...

Введем теперь следующее определение: иррациональным числом называется всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь

a = a1a2a3 … an …

где а – целая часть числа (она может быть положительной, равной нулю или отрицательной), а1, a2, ... an – десятичные знаки (цифры) его дробной части.

Заданное бесконечной непериодической дробью иррациональное число определяет две последовательности конечных десятичных дробей, называемых

десятичными приближениями а по недостатку и по избытку:

Например, для a = 2 запишем

и т. д. Здесь, например, 1,41 – десятичное приближение 2 с точностью до 0,01 по недостатку, а 1,42 – по избытку.

Запись неравенств между иррациональным числом и его десятичными приближениями входит в самое определение понятия иррационального числа и может быть положена в основу определения соотношений «больше» и «меньше» для иррациональных чисел.

1.7. Числовая ось. Координаты точки на плоскости. Осью называется прямая, на которой одно из двух возможных направлений выделено как положительное (противоположное направление считается отрицательным). Положительное направление обозначается обычно стрелкой. Числовой (или координатной) осью называется ось, на которой выбрана начальная точка (или начало) О и единица масштаба или масштабный отрезок ОЕ (рис. 1). Таким

Рис. 1.

С помощью точек числовой оси изображают действительные числа Целые числа изображаются точками, которые получаются откладыванием масштабного отрезка нужное число раз вправо от начала О в случае положительного целого числа и влево в случае отрицательного. Нуль изображается начальной точкой О (сама буква О

62

напоминает о нуле; она является первой буквой слова origo, означающего «начало»). Дробные (рациональные) числа также просто изображаются точками

следует отложить влево от О три масштабных отрезка и еще одну третью часть масштабного отрезка (точка А на рис. 1). Кроме точки А на рис. 1 показаны еще точки В, С, D, изображающие соответственно числа – 2, 3 2 , 4.

Целых чисел имеется бесконечное множество, но на числовой оси целые числа изображаются точками, расположенными ―редко‖, целочисленные точки оси отстоят от соседних на единицу масштаба. Рациональные точки расположены на оси весьма ―густо‖ – нетрудно показать, что на любом сколь угодно малом участке оси имеется бесконечно много точек, изображающих рациональные числа Тем не менее на числовой оси имеются точки, которые не являются изображениями рациональных чисел. Так, если на числовой оси построить отрезок О А, равный гипотенузе ОС прямоугольного треугольника ОЕС с катетами ОЕ = ЕС = 1 (рис. 2), то длина этого отрезка (по теореме

Пифагора) окажется равной 2 и точка А не будет изображением рационального числа.

Исторически именно факт существования отрезков, длины которых не могут быть выражены числом (рациональным числом!), привел к введению иррациональных чисел.

Введение иррациональных чисел, которые в совокупности с рациональными образуют множество всех действительных чисел, приводит к тому, что каждой точке числовой оси соответствует единственное действительное число, изображением которого она служит. Напротив, каждое действительное число изображается вполне определенной точкой числовой оси.

Между действительными числами и точками числовой оси устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Поскольку мы числовую ось мыслим как непрерывную линию, а точки ее находятся во взаимно однозначном соответствии с действительными числами, то мы говорим о свойстве непрерывности множества действительных чисел.

Заметим еще, что в некотором смысле иррациональных чисел несравненно больше, чем рациональных.

Число, изображением которого служит данная точка А числовой оси, называется координатой этой точки, тот факт, что а – координата точки А, записывают так: А (а). Координата любой точки А выражается как отношение ОА/ОЕ отрезка ОА к масштабному отрезку ОЕ, которому для точек, лежащих от начала О в отрицательном

направлении, приписывают знак минус.

Введем теперь прямоугольные декартовы координаты на плоскости. Возьмем две взаимно перпендикулярные числовые оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и равные масштабные отрезки (на практике часто применяют и

63

координатные оси с различными масштабными единицами) Скажем, что эти оси (рис. 3) образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Точка О называется началом координат, оси Ох и Оу – осями координат (ось Ох называют осью абсцисс, ось Оу – осью ординат). На рис. 3,

как обычно, ось абсцисс расположена горизонтально, ось ординат – вертикально. Плоскость, на которой задана система координат, называют

координатной плоскостью.

Каждой точке плоскости ставится в соответствие пара чисел – координат этой точки относительно данной координатной системы. Именно, возьмем прямоугольные проекции точки М на оси Ох и Оу, соответствующие точки на осях Ох, Оу обозначены на рис. 3 через Мx, My. Точка Мx имеет, как точка числовой оси Ох, координату (абсциссу) х, точка My, как точка числовой оси Оу, – координату (ординату) у. Эти два числа х, у (записанные в указанном порядке)

и называются координатами точки М.

При этом пишут: М (х, у}.

Итак, каждой точке плоскости ставится в соответствие упорядоченная пара действительных чисел (х, у)—декартовы прямоугольные координаты этой точки. Термин ―упорядоченная пара‖ указывает на то, что следует различать первое число пары – абсциссу и второе – ординату. Напротив, каждая пара чисел (х, у) определяет единственную точку М, для которой х служит абсциссой, а у – ординатой. Задание в плоскости прямоугольной декартовой системы, координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел.

Координатные оси делят координатную плоскость на четыре части, четыре квадранта. Квадранты нумеруются, как показано на рис. 3, римскими

цифрами.

Знаки координат точки зависят от того, в каком квадранте она лежит, как указано в следующей таблице:

Точки, лежащие на оси Ох, имеют ординату у, равную нулю, точки на оси Оу—абсциссу х, равную нулю. Обе координаты начала О равны нулю:О(0, 0).

Пример 1. Построить на плоскости точки

A (6,0), В (2, 7), С (0, 4), D(-5,2), E(-3,0), F(-4, -9), G(0,-3), H(3,-8).

Решение дается на рис. 4.

Если известны координаты некоторой точки М (х, у), то легко указать координаты точек, симметричных с ней относительно осей Ох, Оу и начала

64

координат: точка, симметричная с М относительно оси Ох, будет иметь координаты (х, –у); точка, симметричная с М относительно Оу, – координаты (– x, y); наконец, у точки, симметричной с М относительно начала, координаты будут

(—х, —у).

Можно также указать связь между координатами пары точек, симметричных относительно биссектрисы I – III координатных углов (рис. 5); если одна из этих точек М имеет координаты х и у, то у второй абсцисса равна ординате первой точки, а ордината – абсциссе первой точки. Иначе говоря, координаты точки 'N, симметричной с М относительно биссектрисы I – III координатных углов, будут (у, х). Для доказательства этого положения рассмотрим прямоугольные треугольники ОАМ и OBN. Они расположены симметрично относительно биссектрисы координатного угла и потому равны. Сравнивая их соответственные катеты, убедимся в правильности нашего утверждения.

Систему декартовых прямоугольных координат можно преобразовать с помощью переноса ее начала О в новую точку O без изменения направления осей и величины масштабного отрезка. На рис. 6 показаны одновременно две системы координат: ―старая‖ с началом О и ―новая‖ с началом O . Произвольная точка М имеет теперь две пары координат, одну относительно старой координатной системы, другую относительно новой. Если координаты нового начала в старой системе обозначены через ( , β), то связь между старыми координатами (х, у) точки М и ее новыми координатами (х', у') выразится формулами

Эти формулы называют формулами переноса системы координат; при их выводе по рис. 6 выбрано самое удобное положение точки М, лежащей в первом квадранте как старой, так и новой системы. Можно убедиться, что формулы (1.7.1) остаются верны при любом

расположении точки М.

Положение точки М на плоскости может быть задано не только ее декартовыми прямоугольными координатами х, у, но и

65

другими способами. Соединим, например, точку М с началом О (рис. 7) и рассмотрим следующие два числа: длину отрезка ОМ — r и угол наклона этого отрезка к положительному направлению оси Ох (этот угол определяется как угол, на который надо повернуть F ось Ох до ее совмещения с ОМ, и считается положительным, если поворот совершается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае, как это принято в тригонометрии. Отрезок r = ОМ называется полярным радиусом точки М, угол ( – ее полярным углом, пара чисел (r, ) – полярными координатами точки М. Как видно, для определения полярных координат точки требуется задание только одной координатной оси Ох (называемой в этом случае полярной ось/о). Удобно, однако, рассматривать одновременно и полярные и декартовы прямоугольные координаты, как это сделано на рис. 7.

Полярный угол точки определяется заданием точки неоднозначно: если 0 один из полярных углов точки, то и всякий угол

будет ее полярным углом. Задание полярного радиуса и угла определяет положение точки единственным образом. Начало О (называемое полюсом полярной системы координат) имеет радиус, равный нулю, никакого определенного полярного угла точке О не приписывается.

Между декартовыми и полярными координатами точки имеются следующие соотношения:

непосредственно вытекающие из определения тригонометрических функций. Эти соотношения позволяют находить декартовы координаты по заданным полярным. Следующие формулы:

позволяют решать обратную задачу: по данным декартовым координатам точки

66