Материал: Введение в математику. Пантелеев И.Н., Ястребков В.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

a 2	b2	,	6abx	,	ab
a 2	b2		ab ax bx		4cd

(и третье из выражений (2.3.1)).

Тождественные преобразования дробных алгебраических выражений имеют по большей части своей целью представить их в виде алгебраической дроби. Для отыскания общего знаменателя используется разложение на множители знаменателей дробей – слагаемых – с целью отыскания их наименьшего общего кратного. При сокращении алгебраических дробей может нарушаться строгая тождественность выражений: необходимо исключать значения величин, при которых множитель, на который производится сокращение, обращается в нуль.

Приведем примеры тождественных преобразований дробных алгебраических выражений.

Пример 1. Упростить выражение

2x2	a	x
			.
x2 a2	x a	a x	.

Решение. Все слагаемые можно привести к общему знаменателю х2 – а2 (удобно при этом изменить знак в знаменателе последнего слагаемого и знак перед ним):

2x2

a x a x x a

x2 a2

x a a x

x2 a2

2x2

ax a2 x2

ax x2

Наше выражение равно единице при всех значениях х, кроме х = а и х = – a (при этих значениях оно не

определено и сокращение дроби

– незаконно).

Пример 2. Представить в виде алгебраической дроби выражение

a2b

a a b

ab b2

a3 b3

Решение. За общий знаменатель можно принять выражение

a a3 b3 .

Находим последовательно:

a2b a3

a a b

ab b2

a3 b3

b2 a 2

b2 aba a b

a b3

a 2b

a 4 2a 2b2 b4

a 2

b2 2

a a3

a a3 b3

a a3

Упражнения:

1. Найти значения алгебраических выражении при указанных значениях параметров:

n m

при m = 2,

n = 1.

m n

б)

r 2

p - q - r

при p =

2qr

pqr

Разложить на множители:

а) x2

x y

2 ;

б)

a2b

ab2

a2c ac2

b2c

bc2

2abc .

Раскрыть скобки в выражении

5x2

3 2 .

a 2

Найти разложение степени бинома

Вычислить, пользуясь формулой бинома Ньютона, степени комплек-

сных чисел: а)

3 ; б)

5 .

В разложении

имеется член, подобный

pq; найти n и

этот член.

Упростить следующие рациональные алгебраические выражения:

; б) z 2

2 z 2

z 2

;

y 2

в) a6

;

г)

x y

x y 2

xy ;

x y

д)

2m 3n 2m 3n 3m 2n 3m 2n

13 m

2.4. Радикалы

из

алгебраических

выражении.

Алгебраические

выражения, в записи которых используются не только четыре рациональных действия, но также знаки радикала (из буквенных выражений), мы называем

иррациональными алгебраическими выражениями. Таковы, например,

выражения

ab x

b 2x .

;

a 1

3 x

При определении о. д. з. иррациональных алгебраических выражений следует учитывать, что выражения, находящиеся под знаком радикала четной степени, не должны быть отрицательными. При отыскании числовых значений

выражения при данных буквенных значениях параметров корни четной степени понимаются в арифметическом смысле.

Пример 1. Найти о.д.з. выражения

	2x a	x 4a
и его значение при x = 5, а = 1.
Решение. О.д.з. определяем из условий 2x			a		0 , x 4a 0 . Находим,
что о. д з. определяется неравенствами x		a 2 ,		x	4a . При вычислении
значения в заданной точке х = 5, а = 1 получаем

2x a		x 4a		x 5
				a 1

10 1 5 4 3 3 6 .

При преобразовании иррациональных алгебраических выражений используются все правила действий с корнями. Рассмотрим сначала возможные упрощения выражения типа ―корень из одночлена‖ или ―корень из частного двух одночленов‖. Будем говорить, что корень приведен к простейшей форме, если: 1) он не содержит иррациональности в знаменателе, 2) в нем нельзя сократить его показатель с показателем подкоренного выражения и, наконец, 3) все возможные множители вынесены из-под корня. Всякий данный корень может быть приведен к простейшей форме, т. е. заменен тождественно равным ему, но таким, который отвечает всем трем перечисленным условиям.

Пример 2.

Привести

простейшей форме следующие корни

a 0,

b 0 :

б) 10 a16

6 a9b15 ;

;

в)

3 256 a2b14 .

Решение. а) Сокращаем на 3 показатель корня и показатель степеней каждого из сомножителей подкоренного выражения

6 a9b15

a3b5 .

Выносим из-под знака корня множители а и b2:

6 a9b15 ab2

ab .

б) 10 a16

5 a8

5 a5a3b4

a 5

a3b4 ;

в) 3 256 a2b14

6 28 a2b14

3 24 ab7

323 2ab6b 2b2 32ab .

Корни, простейшие формы которых отличаются, быть может, лишь коэффициентами (числовыми или буквенными), принято называть подобными.

4 81a5

Например, корни 8 a 2b6 и

подобны, так как 8 a 2b6 = 4 ab3 ,

3a 4 a

3a 4

ab3 , а корни

a3b и a 4b3 не подобны, так как

a3b

= aab , а a 4b3 = a2bb .

При сложении и вычитании подобных корней все они приводятся к простейшей форме, а затем корень выносится за скобки.

Пример 3. Произвести указанные действия

		b
4 81a5b 8 256 a2b10	a2b	b	, a 0 , b 0 .
		a

Решение. Приведем каждый из корней к простейшей форме:

4 81a5b 3a 4

8 256a2b10

4 16 ab5 2b 4

a2b

a 4 ab .

Теперь находим (все корни оказались подобными)

4 81a5b

8 256 a2b10

a2b

= 3a 4 ab 2b 4

ab a 4

3a 2b a 4 ab 2 a b 4 ab .

При вынесении сомножителей из под знака корня четной степени необходимо помнить, что корень понимается в арифметическом смысле. Так,

a3b5

ab2

если знаки

а,

не

указаны,

то

следует

писать

не

ab , а

a3b5

. Здесь о. д. з. состоит не только из значений а

0, b

0, но и

из значений а < 0, b < 0. Поэтому

ab2

a3b5

ab2

Пример 4. Упростить выражение

4xy 4y2

4xy 4y2 ,

x 0 ,

y 0 .

Находим

4xy 4y2

x2 4xy 4 y2

x 2y 2

x 2y

Возможны следующие случаи:

2 y ,

тогда

4y ,

2 y ,

тогда

2x .

Итак,

4 y

2 y

4xy 4y2

2 y

x 0

Если не предполагать заранее, что x

0 , y

0 ,

то решение примера еще

усложнится, так как придется записать ответ в общей форме:


	x2	4xy 4y2		x2	4xy 4y2				,
	x2	4xy 4y2		x2	4xy 4y2	x 2y	x 2y		,
и	затем разбирать	четыре	возможных		случая: 1) x	2 y 0 ,		x	2 y 0 ;
2)	x 2 y 0 , x 2 y 0 ;		x 2 y 0 ,		x 2 y 0 ;	x 2 y 0 ,		x	2 y 0 .
Предоставляем завершить этот разбор читателю.

В примере, который мы сейчас решали, подкоренные выражения представлялись как точные квадраты некоторых двучленов очевидным способом. В некоторых случаях такое представление подкоренного выражения производится не столь очевидным образом. Так, иногда можно упростить радикалы вида

B C ,

записав A

B C в виде точного квадрата.

Пример 5. Упростить выражение

2x2 1 2x x2

1 .

Решение. Подкоренное выражение перепишем в виде

2x2

1 2x x2

1 x2

1 2x x2

1 x2

1 x .

Теперь имеем

2x2

1 2x x2

1 =

О д з. нашего выражения состоит из интервалов

1. Нетрудно заметить, что

1 > 0 при x

1, а при x

1 < 0. Поэтому окончательно имеем

1 ,

2x2

x2 1

1 .

Пример 6. Упростить числовые выражения:

2) 3 10 6

1) 3 2 2 ;

1 2

Решение. 1)

2 2

1 3

2) 3 10

В последнем случае удается записать подкоренное выражение как точный

куб.

2.5. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

При преобразовании дробного алгебраического выражения, в знаменателе которого записано иррациональное выражение, обычно стремятся представить дробь так, чтобы ее знаменатель был рациональным. Если А, В, С, D, ... –некоторые алгебраические выражения, то можно указать правила, с помощью которых можно освободиться от знаков радикала в знаменателе выражений вида

и т. д.

n B

B C D

3 B

Во всех этих случаях освобождение от иррациональности производится умножением числителя и знаменателя дроби на множитель, выбранный так, чтобы его произведение на знаменатель дроби было рациональным.

Источник: https://studfile.net/preview/16565882/

Смотрите также:

05 Л_р_к Введення клієнтів у домен Windows Server
Защита трудовых прав женщин и несовершеннолетних
История эстетики
Лабораторная_5_Кафка
Моделирование вертикальных профилей планктона с учетом суточных вертикальных миграций мезозоопланктона
Определение понятия город в отечественной историографии
Основные технологии управления переменами в организации
Персонифицированная система подготовки высококвалифицированных кадров в области цифрового сельского хозяйства
Понятие предпринимательства
Система формування та розвитку трудового потенціалу сільських територій в умовах трансформацій аграрного сектору економіки