Материал: Введение в математику. Пантелеев И.Н., Ястребков В.Н

1) Область определения функции; 2) область изменения функции, т. е. область ее значений; 3) нули функции; интервалы знакопостоянства функции (т, е. интервалы, в которых функция положительна или отрицательна); точка пересечения графика с осью Оу (если функция определена при х = 0); 4) свойства симметрии графика функции (четность или нечетность функции);

5) интервалы возрастания и убывания функции; 6) точки максимума и минимума функции; 7) асимптоты графика функции.

Разумеется, не всегда мы можем элементарными средствами получить точный ответ на все вопросы. Напротив, иногда возникают и другие, дополнительные вопросы различного содержания. Здесь указана примерная схема, которой мы в общих чертах придерживаемся при исследовании функции и построении ее графика.

4.5. Сложная функция. Понятие сложной функции, или функции от функции, определяется следующим образом. Пусть и = (х) некоторая функция от х; рассмотрим другую функцию y = f (и) такую, чтобы ее область определения совпадала или хотя бы имела общую часть с областью значений функции и = (х). Тогда можно рассматривать у = f (и) = f ( (х)) как функцию от х: задание х определяет и = (х), а значение и, если оно попадет в область определения функции y = f (u), определит у. Таким образом, в конечном счете заданием х определяется значение у, т. е. у становится функцией х. Заданная таким способом функция

y = f (u) = f ( (x)) =F (x)

называется сложной функцией от х (заданной через посредство промежуточного аргумента и).

Пример. Функция у = sin(x) естественно представляется как сложная функция так: y u , u

= sin x.

Схематически сущность понятия сложной функции поясняется рис. 18.

Следует заметить, что термин «сложная функция» указывает на способ задания этой функции, а не на какие-либо ее особые свойства. Любую функцию при желании можно представить как сложную функцию. Например, для функции у = х можно

записать у = 3 x3 или

97

y 3u , u x3 ,

т. е. представить ее как сложную функцию.

4.6. Обратная функция. Рассмотрим функцию y = f (x), областью определения которой служит, например, сегмент [а, b] (рис. 19), а областью изменения сегмент [с, d]. Функция у = f(х) ставит каждой точке сегмента [а, b] в соответствие некоторую точку сегмента [с, d]. Для изображенной на рис. 19 функции (благодаря тому, что она

монотонна) можно установить и обратное соответствие: каждому значению у0 из сегмента [с, d] соответствует единственное значение x0 из сегмента [а, b] такое, что y0 = f (x0). Тем самым х можно рассматривать как функцию от у с областью определения [с, d] и областью изменения [а, b]. Функцию x = g(y) назовем обратной по отношению к функции y = f(x) (можно эти две функции назвать взаимно обратными).

При схематическом изображении взаимно обратные функции. f и g представятся

стрелками, как показано на рис. 20. При этом, однако, существенно, чтобы данному у могло отвечать лишь одно значение х такое, что y = f (x), тогда мы и пишем: х = g (у). Записи у = f (х) и х = g (у) имеют здесь равнозначный смысл: x = g (y) в том и только в том случае, если y = f (x).

Поэтому пары чисел (х, у), определяемые любым из

двух соотношений y = f (x) и x = g (y), будут одними и теми же. Это означает, что графики функций

у = f (х) и х = g (у) совпадают. Первая из этих функций имеет своим аргументом переменную х, изменяющуюся на сегменте [а, b], вторая переменную у с областью изменения аргумента [с, d]. Следует заметить, что во втором случае мы значения аргумента изображаем на оси ординат, а значения функции на оси абсцисс. Такое изображение является непривычным и потому менее удобным. Представим себе, что произойдет, если теперь и для обратной функции x = g(y) мы станем значения аргумента обозначать через х и изображать на оси Ох, а значения функции будем обозначать через у и изображать на оси ординат (напомним, что мы условились обозначать для разных функций разными буквами законы соответствия, символизируемые здесь буквами f и g; зависимые же и независимые переменные для разных функций допустимо обозначать одинаково). При таком изменении обозначений запись обратной по отношению к y = f (x) функции будет уже иметь вид y = g (x).

Теперь график функции y = g (x) будет получаться из графика y = f(x) (или x = g (y)) с помощью преобразования зеркальной симметрии относительно биссектрисы первого третьего координатных углов (рис. 21). В самом деле, пусть точка (х0, у0) лежит на графике данной функции; тогда точка (у0, х0,) с переставленными координатами должна лежать на графике обратной функции. Но такие две точки расположены симметрично относительно указанной биссектрисы, а отсюда и следует наше утверждение: графики двух взаимно обратных функций расположены симметрично относительно биссектрисы I III координатных углов.

Пример. Найти функцию, обратную по отношению к функции y = 43 x 1.

98

функцией двух переменных х, у (принимающих значения в некоторой допустимой области изменения, называемой областью определения функции z = f(x, у)), если каждой паре значений х, у (из этой области) отвечает по некоторому закону единственное значение z.

Поскольку пара значений аргументов х, у может быть изображена точкой плоскости, то область определения функции удобно изображать на плоскости.

Пример. Функция задана аналитическим выражением:

найти ее область определения (т. е. о.д.з. соответствующего выражения) и изобразить ее графически.

Решение. а) Функция определена при x 0, y 0. Соответствующая

область четвертый квадрант (включая ограничивающие его лучи координатных осей), рис. 23, а.

б) Здесь 1 x2 y2 > 0, или x2 y2 1. Это условие определяет

множество точек, расстояние которых от начала О меньше единицы. Такие точки заполняют внутренность круга с центром в О и радиусом, равным единице .(точки окружности в область не входят), как показано на рис. 23, б.

Упражнения:

1.Найти область определения следующих функций:

2.Найти функции, обратные по отношению к следующим функциям:

функцией.

100

4.Записать в виде сложных функций (введя промежуточный аргумент u = (х)) следующие функции:

5.Найти область определения функции и изобразить ее графически:

4.8.Обзор элементарных функций. В элементарной математике по большей части рассматриваются функции, которые могут быть аналитически заданы с помощью рациональных действий (сложение, вычитание, умножение и деление), выполняемых над числами (константами) и перечисленными ниже так называемыми основными элементарными функциями, а также с помощью образования сложных функций. Основными элементарными функциями условимся считать следующие:

I) степенные функции y = xk, где k любое действительное число;

Функции, получающиеся из основных элементарных функций перечисленными выше операциями (из которых особенно важна операция образования сложной функции), будем называть элементарными функциями. Так, например, элементарными являются функции

и т. п.

Выделим некоторые особенно важные виды элементарных функций. Функции, образуемые применением к аргументу только трех целых

рациональных действий, называют целыми рациональными функциями (ц.р.ф.). Их также называют многочленами или полиномами от переменной х; любая ц.р.ф. записывается в виде

(4.8.1)

Если а 0, то она называется ц.р.ф. или полиномом степени п. Линейную ц. р. ф.

(4.8.2)

называют просто линейной функцией; квадратичную ц.р.ф.

(4.8.3)

квадратным (или квадратичным} трехчленом.

101