Материал: Введение в математику. Пантелеев И.Н., Ястребков В.Н

Можно также рассмотреть и несколько более общий случай функций вида у = ахn. Их графики получатся из графиков функций у = xn аналогично тому, как параболы у = ах2 получались в п. 4.10 из параболы у = х2.

Можно указать на некоторые общие свойства рассматриваемых функций. Все они принимают нулевое значение при x = 0 (их графики проходят через

n = 2k + 1, то и функция нечетная, так как x 2k 1 x2k 1 . В этом случае график симметричен относительно начала координат.

Для x >= 0 функции (4.11.1) все являются возрастающими. При этом, чем больше показатель п, тем больше значения х" для х > 1; напротив, при 0<х<1 функции с большим показателем степени п принимают меньшие значения. Для х = 1 все функции у = х" принимают значения, равные 1.

Вот таблица, поясняющая это на примере отдельных значений:

Графики функций y = xn для n = 1, 2, 3, 4 показаны на рис. 30. При п = 3 и п = 4 они соответственно называются

параболами третьей и четвертой степени (парабола третьей степени называется также кубической параболой).

4.12. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция с рациональным показателем степени. Начнем с исследования степенной функции у = хk в случае k = 1:

или с несколько более общей функции:

67

(в этом случае говорят, что х и у находятся в обратной пропорциональной зависимости, а число т называют

коэффициентом обратной пропорциональности). Равенство (4.12.2) записывают также в симметричной относительно х и у форме:

Таким образом, произведение величин, находящихся в обратной пропорциональной зависимости, постоянно и равно коэффициенту пропорциональности.

Проведем исследование функции (4.12.2) в случае m > 0.

1)Областью определения функции (12.2) служит вся ось Ох, кроме точки

х= 0: эта область состоит из двух бесконечных. открытых интервалов ( , 0) и

(0, + ).

2)Функция не обращается в нуль. Если х > 0, то (в силу т > 0) и у > 0, для отрицательных х функция также принимает отрицательные значения. Областью изменения функции является множество всех действительных чисел, кроме нуля.

3)Функция (4.12.2) нечетна (докажите); ее график симметричен относительно начала координат. Достаточно поэтому рассмотреть лишь ту его

часть, которая соответствует интервалу (0, + ).

График функции (4.12.2) обладает и симметрией относительно биссектрис координатных углов. Покажем, например, его симметрию

координаты x2 = y1, у2 = х1, лежит на том же графике; из равенства х1у1 = т следует

x2 y2 y1x1 m .

Это соображение применимо всякий раз, когда соотношение между х и у можно представить в форме, симметричной относительно х и у, т. е. в виде F (х, y) = 0, причем функция F (х, у) удовлетворяет условию F (у, x)=F(x,y).

4) При x > 0 функция (4.12.2) убывающая; действительно, из 0 x1 x2 следует т/х1 > т/х2, т. е. y1 y2 . Функция является убывающей и в интервале

( , 0) (проверьте самостоятельно). Было бы ошибкой, тем не менее считать функцию убывающей во всей области определения: в точке х = 0 она не

каждом из которых она убывает.

5) Изучим характер изменения у при условии, что х принимает все большие положительные значения (стремится к бесконечности). Ясно, что у = т/х при этом будет приближаться к нулю, оставаясь все же положительным. Графически это означает, что кривая приближается (при движении точки вправо) к оси абсцисс, оставаясь выше оси абсцисс. Ось Ох является асимптотой графика обратной пропорциональности.

68

Если, напротив, заставить х приближаться к нулю, оставаясь положительным, то у будет неограниченно возрастать (стремиться к бесконечности). График имеет и вторую асимптоту ось Оу (последнее ясно также из наличия асимптоты Ох и симметрии относительно прямой у = х). Кривая, соответствующая разобранному случаю т > 0, показана на рис. 31, а; случай т < 0 рассматривается аналогично, график изображен на рис. 31,б.

Кривая, служащая графиком обратной пропорциональной зависимости, называется равнобочной гиперболой. В обоих случаях т > 0 и т < 0 гипербола состоит из двух отдельных частей, называемых ветвями гиперболы. Гипербола имеет оси симметрии (здесь они совпадают с биссектрисами координатных углов), две асимптоты (они совпали с координатными осями), центр симметрии (помещающийся в точке пересечения осей симметрии и асимптот).

На рис. 32 показаны графики функций y 1 xn при n = 2, п = 3;

исследование этих функций предоставляется читателю.

В качестве примеров степенных функций с дробными показателями степени рассмотрим y 3 x и y x .

Функцию y 3 x можно рассматривать как обратную по отношению к у = х3; поэтому можно построить ее

график как кривую, симметричную с кубической параболой у = х3 относительно биссектрисы I III координатных углов (рис. 33). Ясно, что и не зная правила, относящегося к графикам взаимно обратных

функции, мы могли бы переписать уравнение y 3 x в равносильном виде х = у3 и строить график функции х = у3 как кубической функции от у.

69

у/х = 13 x , т. е. при х > + отношение у/х уменьшается, приближаясь к нулю.

Это означает, что хорда, соединяющая точку (0, 0) с любой точкой (х, 3 x2 ), наклонена к оси Ох по мере удаления точки в бесконечность под все более острым углом (рис. 35), график поднимается полого.

71