Материал: Введение в математику. Пантелеев И.Н., Ястребков В.Н

параболы помещается в точке (, ), ее осью служит прямая х = . При а > 0 вершина наинизшая точка параболы, при а < 0 наивысшая.

Пример. Построить графики функций: а) у=2х*+4х—6;

б) y x2 4x .

Решение. а) Преобразуем квадратный трехчлен:

Проведем теперь исследование квадратного трехчлена, т. е. выясним его свойства в зависимости от числовых значений коэффициентов а, b, с в его выражении (5.2.1).

Обозначим в равенстве (5.2.2) величину b2 - 4ac через d:

d = b2 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена. Свойства трехчлена (5.2.1) (и расположение его графика) определяются знаками дискриминанта d и старшего коэффициента а.

Парабола расположена в нижней полуплоскости

(у < 0; рис. 45,6).

3) a > 0, d > 0. Вершина О' лежит ниже оси Ох, парабола пересекает ось Ох в двух точках x1, x2 (рис. 45, б).

76

4) а < 0, d > 0. Вершина О' лежит выше оси Ох, парабола снова пересекает ось Ох в двух точках x1, x2 (рис.

45, г).

5)а > 0, d = 0. Вершина лежит на самой оси Ох, парабола расположена в верхней полуплоскости (рис. 45, д).

6)a < 0, d = 0. Вершина снова лежит на оси Ох, но парабола расположена в нижней полуплоскости (рис. 45, е).

Выводы. Если d < 0, то график функции весь лежит либо выше (при а > 0), либо ниже (при а < 0) оси абсцисс. Функция у = ax2 + bх + с с d < 0 знакопостоянна. Если d = 0, то положение отличается лишь тем, что вершина параболы лежит на оси Ох (функция знакопостоянна, но в одной точке обращается в нуль). Если d > 0, то функция знакопеременная (график частью лежит ниже, частью выше оси Ох). Квадратный трехчлене d > 0 имеет два корня (нуля) x1, x2 . При а > 0 он отрицателен в интервале между корнями

(рис. 45, е) и положителен вне этого интервала. При а < 0 он положителен в интервале между корнями) (рис. 45, г) и отрицателен вне этого интервала.

Все эти сведения будут использованы в теории квадратных уравнений и при решении квадратных неравенств.

77

ad bc = 0, то числитель и знаменатель в записи формулы, задающей функцию, пропорциональны и при всех значениях х d/c функция сводится к постоянной: y = а/с. Этот случай естественно исключить.

5.3. Преобразование симметрии. Сжатие и растяжение графика.

Если имеется график функции y = f(x), то нетрудно построить графики функций y = f(x), y = f( x), y = f( x). Эти графики будут симметричны с графиком функции y = f(x) относительно оси Ох, оси Оу, начала координат соответственно. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) y = f(x); точки этого графика будут симметричны сточками графика функции y = f(x) относительно оси Ох (каждой точке (х, f (х)) отвечает точка (х, f(x)), симметричная с ней).

79

2) y = f( x); в этом случае область определения функции y = f( x) состоит из точек оси Ох, симметричных с точками области определения функции

3) y = f( x); точки этого графика будут соответственно расположены симметрично точкам (х, f (х)) графика у = f (х) относительно начала координат.

На рис. 47 показан график некоторой функции y = f(x) и графики функций y = f(x), y = f( x), y = f( x).

По графику функции y = f(x) можно также построить график функции

положительного после преобразования симметрии, рассмотренного только что).

Ясно, что график функции y = af(x) получится из графика функции у = f(x) умножением всех ординат на одно и то же число (так получались, например, графики функций y ax2 по графику функции у = x2). Если > 1 (например, = 2, как на рис. 48), то можно сказать, что график растягивается в

координатами (х, у) можно поставить в соответствие точки графика y = f(ax) с теми же ординатами у и абсциссами х/ в а раз меньшими, чем абсциссы х графика y = f(x). Так, в случае = 2 мы будем получать равные значения функций y = f(x) и y = f(2x), выбирая для второй вдвое меньшие абсциссы, чем для первой. При 0 < < 1 действие деления абсцисс х на приведет не к

80