Материал: Введение в математику. Пантелеев И.Н., Ястребков В.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Исследуем еще вид кривой вблизи начала координат. Здесь при малых значениях х отношение у/х = 13 x , показывающее наклон хорды, весьма

велико, кривая входит в начало координат, тесно приближаясь к оси Оу (касаясь оси Оу). График на рис. 35 построен с учетом этого исследования и с

использованием отдельных точек (0, 0), ( 1	8	,	1	4	), (1, 1), (8, 4).
	8			4
Аналогичными приемами могут быть исследованы функции y = xk с
любыми рациональными показателями степени.
4.13. Показательная функция. Функция вида
y	a x				(4.13.1)

при а > 0, а 1 называется показательной функцией.

Исследуем эту функцию.

1)Областью определения функции (4.13.1) служит вся ось абсцисс, т. е. бесконечный интервал ( , + ).

2)Функция (13.1) не является ни четной, ни нечетной.

3)Функция у = аx положительна при всех значениях аргумента, поэтому

ееграфик весь располагается выше оси абсцисс. Если а > 1, то a x > 1 при х > 0 и a x < 1 при х < 0. Напротив, если а < 1, то a x < 1 при х > 0 и a x > 1 при х < 0.

В любом случае a x

1. График проходит через точку (0, 1) на оси Оу.

4)Если а > 1, то функция у = a x монотонно возрастает; если а < 1, то она

монотонно убывает. Действительно, пусть, например, а > 1. При x1 x2 имеем

y y	2	a x1	a x2	a x2 a x1 x2	1 ;
1	2
в этом выражении оба множителя положительны и			y1	y2 . Аналогично доказывается убывание функции в
случае а < 1.
5) Пусть а > 1; как мы видели,				функция у	= a x возрастает; можно

показать, что при этом ее значения по мере возрастания х становятся сколь угодно большими. График функции круто поднимается вверх при движении точки х по оси абсцисс вправо.

Если теперь заставить переменную точку х двигаться без ограничений по оси Ох влево, то при этом значения функции (4.13.1) будут становиться все меньше и меньше, оставаясь, однако, положительными. По мере неограниченного движения точки х по оси Ох влево график функции (4.13.1) будет сверху все ближе и ближе подходить к оси Ох. Ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции (4.13.1), как показано на рис. 36,а.

В случае а < 1 функция y = ax, как уже отмечено, убывает; по мере возрастания х ее значения быстро приближаются к нулю ось Ох является асимптотой графика функции. Отрицательным значениям х теперь соответствуют значения функции, большие единицы, с увеличением модуля х (х ) функция растет, стремится к бесконечности. График показательной функции при а < 1 показан на рис. 36, б.

Чем больше основание а > 1, тем круче поднимается график функции y = ax вправо и тем быстрее приближается к асимптоте при движении точки влево.

На рис. 37 показаны графики показательных функций y = ax при значениях

основания а =2,3, 1			2	, 1	3	. Заметим,	что	графики y = 2 x и
			2		3
y	1	x	(или y = 3x и у =				1	x соответственно симмет-
		2					3

ричны относительно оси Оу. Действительно, y 12 x можно записать

как	y 2 x , если точка (х, у) принадлежит графику функции у = 2х, то
точка (—х, у), симметричная ей относительно оси Оу, лежит на графике
y	2 x .
	4.14. Логарифмическая функция. Функция вида
	y loga x ,	(4.14.1)
где а > 0 и а 1, называется логарифмической функцией.
	Чтобы построить график логарифмической функции, проще	всего

заметить, что она является обратной функцией для показательной функции.

Действительно, если y	loga x , то x	a y , и	обратно. Функции y	loga x
x a y и взаимно обратные функции,		их графики расположены зеркально
симметрично относительно биссектрисы I		III координатных углов.
Этим мы и воспользовались при построении на рис. 38 графика
логарифмической функции y loga x по известному (изображенному				здесь
пунктиром) графику показательной функции y			a x (рис. 38, а относится к
случаю а > 1, а рис. 38, б	к случаю 0 < а < 1).

Отметим, что графики логарифмических функций в обоих случаях расположены правее оси ординат Оу, поскольку логарифмическая функция определена лишь для положительных значений независимой переменной х. При

всяком основании а (а > 1 или 0 < а < 1) графики проходят через точку (1, 0). Число х = 1 служит нулем

логарифмической функции y	loga x при любом а.
При а > 1 логарифмическая функция (4.14.1) является возрастающей
функцией, при 0 < а < 1	убывающей.

5.ГРАФИКИ ФУНКИЙ

5.1.Преобразование графиков. Параллельный сдвиг графика. Во многих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известных графиков других функций более простого вида. Так, если известен график функции y = f(x), то можно построить графики функций вида

y	f x	;	y f x	.
1) Построение графика функции y f x	(сдвиг		графика	в

направлении оси ординат). Вспомним, что график линейной функции у = ах + b получался из графика функции у = ах сдвигом на |b| единиц (вверх или вниз, смотря по знаку b) в направлении оси Оу (см. рис. 25). Точно так же ясно, что

ординаты графика функции у = f (х) + получаются из ординат графика функции у = f (х} прибавлением

постоянного слагаемого , т. е. для получения графика у = f (х) +	надо весь график у = f (х) переместить
параллельно оси Оу на \| \| единиц вверх или вниз, смотря по знаку	(рис. 39).
2) Построение графика функции y	f x	(сдвиг графика в

направлении оси абсцисс). Пусть по графику функции y = f(x) нужно построить

график функции y f x	. Эту задачу можно решить переносом графика
	73

функции у = f(х) на |

[ единиц масштаба влево, если

> 0, и вправо, если

< 0

(рис. 40).

Поясним это на следующем примере. Рассмотрим функцию y

1 2 и

сравним ее график с графиком функции

y x2 . Одни и те же ординаты мы

получим,

если для функции y

1 2

будем брать

абсциссы на единицу

меньшие,

чем для

x2 . Абсциссы всех точек

графика

следует

уменьшить на единицу,

т. е. сдвинуть график y x2 влево на одну единицу

масштаба (рис. 41, а).

По таким же

соображениям видно, что график

функции

2 2

получится

из графика

функции

сдвигом

на

две

единицы

вправо

(рис. 41,б).

Оба

сдвига

в направлении осей Ох и Оу

могут применяться

одновременно. Так,

для построения графика функции

y x

2 2

1 следует

график функции y

снести на две единицы вдоль оси Ох вправо и на одну

единицу вдоль оси Оу вниз (рис. 41,в).

Пример. Построить графики функций: а)

y x 2 3 1;


б) y 2	x 3 .

Решение. а) График функции у = (х + 2)3 + 1 получится из известного

графика функции y x3

(рис. 30) сдвигом на две единицы влево и на одну

единицу вверх (рис. 42, а).

б) Решение понятно из рис. 42, б. Область определения функции здесь

бесконечный интервал [3,

5.2. График квадратного трехчлена. Квадратным трехчленом мы

назвали целую рациональную функцию второй степени (4.8.3):

ax2

c ,

(5.2.1)

где a

0 . Докажем, что графиком квадратного трехчлена является парабола, получаемая параллельными

сдвигами (в направлениях координатных осей) из параболы

y ax2 . Для этого приведем выражение (5.2.1)

путем простых тождественных преобразований к виду

a x

(5.2.2)

Соответствующие

преобразования,

записанные

ниже,

известны как

«выделение точного квадрата»:

y ax2

bx c a x2

c a x2

4a 2

4ac

(5.2.3)

Мы привели квадратный трехчлен к виду (5.2.2); при этом

4ac

(5.2.4)

(эти выражения не следует запоминать, удобней всякий раз выполнять преобразование трехчлена (5.2.1) к виду (5.2.2) непосредственно).

Теперь видно, что график трехчлена (5.2.1)					парабола, равная параболе
y ax2 и получаемая сдвигами параболы				y	ax2 в направлениях осей
координат на	и	(с учетом знака	и	) соответственно. Вершина этой
					75

Источник: https://studfile.net/preview/16565882/

Смотрите также:

05 Л_р_к Введення клієнтів у домен Windows Server
Защита трудовых прав женщин и несовершеннолетних
Лабораторная_5_Кафка
Определение понятия город в отечественной историографии
Основные технологии управления переменами в организации
Персонифицированная система подготовки высококвалифицированных кадров в области цифрового сельского хозяйства
Понятие предпринимательства
Социально-культурная адаптация воспитанников детского дома средствами культурно-досуговой деятельности
Суд как субъект уголовного процесса доказывания