где /п - ток пучка электронов; ср(х, у) - эффективный коэффициент вторичной эмиссии; Jn (х, у) - нормированная плотность распределения тока пучка в координатах х, у, причем
00 |
00 |
J |
\ j n{x,y)dxdy =\. |
Рис. 2.1. Функциональная схема вторично-эмиссионного датчика положения стыка: х1и х2 - положение кромок свариваемых деталей
Нормированную плотность J(x, у) обычно представляют нор мальным законом распределения [148]
(*—ег)2
М х>у) |
1 |
2а? |
1 |
2а» |
( 2.2) |
----- -----в |
х |
------ т=6 |
у |
||
|
ах^2п |
|
оул/2п |
|
|
где а* и су - среднеквадратические отклонения по соответствующим осям; ех и еу - положение оси пучка в координатах х и у.
Если стык свариваемого соединения ориентирован вдоль оси у тогда функция ф(х, у) не зависит от у, т. е.
Ф ,У ) = Ф )-
Объединяя выражения (2.1) и (2.2) и учитывая, что
(У~еуУ
J
получим
, |
« |
(*-е)2 |
|
|
|
2°2 dx. |
(2.3) |
аы2п
Для стыкового соединения свариваемых деталей, изображенного на рис. 2.1, коэффициент вторичной эмиссии равен
'•K-<pMl,- ° o < * < x „
ф(*)=• О, Х\ < х< х2, |
(2.4) |
К ' Фм2>х2 Zx^co,
где срм1 и срм2 - коэффициенты вторичной эмиссии свариваемых дета лей. Если детали из одного материала, то фм1 = ф ^ = фы; А"- коэффици ент, учитывающий геометрические характеристики коллектора вторич ных электронов.
Ток вторичной эмиссии в этом случае определяется выражением
г |
K -Iniрм |
( J - 6 ) 2 |
|
И е 2°2 dx . |
(2.5) |
||
к |
a j b i |
*i |
|
|
|
|
По выражению (2.5) можно рассчитать статические характери стики зависимости тока коллектора от смещения стыка.
Для реализации метода синхронного детектирования придадим гармонические колебания параметрам е, а, /„ в соответствии с выраже ниями:
е = е0 + em sin wxt, |
(2.6) |
a = CT0 +|A<7|+|omsinw2f|, |
(2.7) |
In = /nO+ /nmSinw3/, |
(2.8) |
где e0 - рассогласование положений пучка и стыка; ет |
амплитуда |
сканирования пучка поперек стыка; мл - частота сканирования поперек стыка; ст0 - минимальное среднеквадратическое отклонение плотности
распределения пучка; Да - приращение а 0; crm - амплитуда сканирова ния по фокусу; w2 - частота сканирования по фокусу; /п0 - постоянная
составляющая тока пучка; |
- |
амплитуда колебаний тока пучка; w3 - |
частота колебаний тока пучка; t - |
время. |
|
В этих выражениях для простоты начальные фазы гармониче ских составляющих приняты равными нулю, что не оказывает влияния на полученные результаты.
Формула (2.5) с учетом выражений (2.6), (2.7), (2.8) будет иметь
вид
- U + /nmSinY |
(j-e 0-e w sina)2 |
|
2(o0+|Aa|+amsinp)2 ^ |
(2.9) |
|
|
|
к (<*о+М +CTmsin
где a = му; р = му; у = му.
Изменение тока коллектора во времени можно представить в ви
де кратного ряда Фурье от трех переменных [82]: |
|
||
/K= (a,P,Y)= |
£ £ t c mnkejima+n^ \ |
(2.10) |
|
|
|
/71=-со П--оо к=-<о |
|
где коэффициенты ряда Фурье определяются формулой |
|
||
с тпк |
I |
] ] jx(o .^y)e -J(ma^ +lq)d a ^d r. |
(2.11 ) |
871-тс -л -п
Сучетом (2.9) получим
AiO + AnnSiny |
|
( x - z0- t msina)2 |
j<P(x)e |
2(a0+|Aa|+aIMsinp)2 |
|
тпк 87С3 i t i , i t (ао + |Да|+ a m sin p}j2n |
|
|
xe -Kma^ +ht)dad^dy. |
(2.12) |
|
Соотношения (2.10) и (2.12) выражают математическую модель датчика вторичных электронов как элемента, обладающего частотным спектром выходного сигнала при наличии периодических сигналов в параметрах электронного пучка. Математическая модель позволяет выявить составляющие сигнала датчика с частотами та + п(5 + £у.
В тригонометрической форме ряд (2.10) будет иметь вид
ЛДа.Р.У) =^ - |
+4 £ £ £ dmnk cos(ma + лр + ку) + |
1 |
/л=1л=1*=1 |
где коэффициенты ряда определяются выражениями:
4 юо = ~ у |
\ \ |
f/K(a,P,y)da^^, |
(2.14) |
||
|
|
4Я -я -я-я |
|
||
J |
я |
я я |
|
|
|
d m * ~ Т Т |
J |
J ! /к(“ >Р»У)cos(ma + лр + Ау)</аф</у, |
(2.15) |
||
4я |
-л -я _я |
|
|
|
|
*W = у г |
I |
J I ук(а. р. У)sin(ma + лр + ki)dad^df. |
(2.16) |
||
4тс |
_я _я _я |
|
|
|
|
В этом случае |
|
|
|
|
|
|
|
Сщпк |
2 |
j^mnk )■ |
|
Из выражений (2.13)...(2.16) видно, что ток вторичной эмиссии можно представить суммой постоянной составляющей (2.14) и гармо нических составляющих (2.15), (2.16).
Если сканирование по б, а и /л отсутствуют, т. е. w\ = w2= w3 = О, то ряды (2.10), (2.13) вырождаются в соотношение (2.3).
Интерес представляет определение спектральных составляющих сигнала датчика, зависящих от положения пучка относительно стыка (б) и положения фокуса относительно поверхности свариваемого изде лия, которое характеризуется диаметром пучка а. Для получения этих составляющих воспользуемся соотношением (2.5). Получение аналити ческого выражения интеграла, входящего в формулу, затруднено. По этому, произведя замену z = х - е, представим подынтегральное выра жение в виде ряда Тейлора по степеням z в окрестности точки z = 0:
f(z ) = е~ *= /(0 ) + /'(0 )z + Л |
2-2 + ... + £ ^ - z n + ..., |
2! |
л! |
где коэффициенты/"(0) - значения производных_/(z)/r»0-
Ограничимся пятью членами ряда. Такое ограничение допусти мо при \z\ < а и достаточно для иллюстрации описываемых процессов.
Тогда получим: |
|
ЛО) = 1. /'(0 ) = о, /< 2>(0) = ~ у , |
/ (3)(0) = 0, / (4)(0) = - L |
ст |
a |
Отсюда получим
Л
(*-еУ
е2° = 1 - —- y ( j c - e ) 2 + —^ - ( х - е ) 4.
2а 2 |
8а4 |
Интеграл в выражении (2.5) определяется как
г |
(Х-Б)2 |
JL. ЮЗа |
1 2 |
1 4 |
on2 |
||||
J е |
20 |
<& = — — — ez + — т е4; |
||
|
|
60 |
2а |
4а 3 |
с учетом выражения (2.6) получим
/.( a )
и
S ? lf
j_ |
103 |
i 4 |
1 2 |
a |
60 |
4 a4 e° + ^ |
e° |
1 |
0 I- |
J |
1 |
2 __ 3_ 2 2 |
|
|
|
||||||
■^^ejne0 —CT4' 8",e0J |
sm a + |
|
|
2a4 eme0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
. 3 |
a - |
1 |
4 . |
|
4 |
a |
|
4 |
|
|
(2.17) |
4 e0emsin |
T T Emsin |
|
|
|
|
||||||||
a |
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты Фурье определятся выражениями: |
|
|
|
||||||||||
О о = - J IK(a)da = ^ j l |
2 |
103 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
1 |
|
4 |
|||
о |
60 |
16а4 |
" |
|
2о2 ” |
2а4 |
|
° |
|||||
|
J2n |
|
|
||||||||||
|
|
+ 1 ^‘Г - Т3Т- ео2 |
|
|
|
|
|
|
|
(2.18) |
|||
|
|
а 2 |
2а‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6, = — J /„(а) sin агЛх = ^ 2 - |
|
1 |
^ |
|
3 |
L |
1 |
3 |
, |
(2.19) |
|||
|
Т 1Sm -TT^m |
) |
РО--- Г6»6» |
||||||||||
п |
|
л/2я |
|
а |
4а |
|
|
|
а4 |
|
|
|
|
- i ] ! .( а ) с о ,2 ^ - ^ |
( ^ . |
1 |
|
|
|
|
+ i 7 |
' - 4 |
|
(2'2°) |
|||
bj = - |
J 4 (a)sin3arfa = |
|
4a4 |
|
|
(2.21) |
|||||||
n _n |
|
|
|
V2л |
|
|
|
|
|||||
a4= J /K(a)cos4a</a = ^ ^ |
- ^ - e 4. |
|
|
(2.22) |
|||||||||
|
-j |
|
|
|
|
|
32a |
|
|
|
|||