Материал: Туровский Я. Техническая электродинамика

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

основных задач: 1) нахождение распределения магнит­ ного поля на поверхности тела; 2) расчет электромаг­ нитного поля и потерь активной и реактивной мощности в металле.

Первую задачу можно часто решить, используя метод зеркальных изображений, метод Рота, Роговского и т. п.

Таким

путем

находим

распреде­

 

 

 

 

ление нормальной

составляющей

fn,Yo

 

 

 

напряженности

магнитного

поля

= 0

 

 

 

 

 

 

на

поверхности

тела

со

стороны

 

 

 

 

воздуха #zo (х,

у)—рис.

7-11, при

 

 

 

 

упрощающем

 

положении,

что

 

 

 

 

проницаемость

стали

бесконечно

 

 

 

 

велика по сравнению с проницае­

 

 

 

 

мостью

воздуха, или

по

крайней

 

 

 

 

мере

относительная

«квазипрони­

 

 

 

 

цаемость» (лд г в несколько раз

 

 

 

 

больше

единицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не

менее

трудным

вопросом,

 

 

 

 

чем

определение граничных

усло­

 

 

 

 

вий,

является

решение уравнений

 

 

 

 

электромагнитного

поля (2-1) —

 

 

 

 

(2-6)

внутри стали

с учетом

пере­

 

 

 

 

менной

проницаемости.

 

 

 

 

 

 

 

Т р е х м е р н о е

п о л е .

По­

 

 

 

 

лагаем, что все составляющие по­

Рис.

7-11.

Поле на

по­

ля

являются

 

монохроматически­

 

верхности

стального

по­

ми

функциями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лупространства.

 

E=Eme'mt и H=:Hmeiwt.

Ввиду непрерывности магнитного потока, проникаю­ щего в конструктивные детали (divB = 0), функции рас­ пределения поля на поверхности имеют обычно периоди­ ческий характер (рис. 7-11). Примем вначале постоян­ ную проницаемость стали [x=const. Благодаря этому из уравнений поля для проводящей среды

rotH=yE, rotE = — дЪ/dt; divB = 0; divE = 0. получим уравнение проводимости

V 2 H m = a a H m , которое для составляющей Hmz имеет вид:

d2Hmzfdx2 + d2Hmzfdy2 + dH2Jdzs = а2 Я, (7-42) где а = (!-{-/)&, & = |Ло^у/2.

373

Применяя

к (7-42)

метод

Фурье с подстановкой

(2-50)

 

 

 

 

 

Нтг(х,

у,

z) =

X{x)Y(y)Z{z),

получаем общее решение в виде

(2-54), в котором мож­

но положить

С&п = 0, так как в противном случае по мере

продвижения

вдоль

оси z напряженность магнитного

поля увеличивалась бы до бесконечности, что физически невозможно.

Остальные

 

постоянные

определяем

из

граничных

условий на поверхности металла.

Если

распределение

напряженности

магнитного поля на поверхности

 

Hz0(x,y)

является четной функцией по отношению к оси z

(коси­

нусоиды), то

исчезают

также

постоянные

C 2 n

и

С5п,

а если

нечетной (синусоиды),

то

С 1 п = С 4 п . = 0. Пусть

на­

чало координат

расположено в узловой точке

(рис. 7-11).

В этом

случае

на основании (2-50) и (2-54)

получаем:

Cin=Cin

= Csn = 0, а также

 

 

 

 

 

 

 

 

X ( L ) = C 2 n

sin p„L = 0

и

У(7У2) = (С8 „ sin т|„) 7/2 = 0.

 

Это

значит,

что существует

теоретически

бесконечное

число значений

f}„ и г)п :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$п = тл/Ь

и

цп = п2л/Т

(m=l,

2, 3 ...,

п=

1,

2,

3 . . . ) .

Получаем

в

результате

бесконечное

число

частных

решений (7-42)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hmzmn — Cmns'mm~xsinn^-ye

 

a , n n Z ,

 

(7-43)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

amn

 

= ] / a 2

+

(rmjLf

4- (п2ъ/Т)2 .

 

 

(7-44)

Уравнению

 

(7-42)

удовлетворять будет также

линей­

ная комбинация всех частных решений (7-43), которая является общим решением этого уравнения

 

00

оо

 

 

 

Hmz(x,

у, 2)=JJ

c»msmtn~xsmn-^-ye

а , п п .

(7-45)

 

m =

l n=l

 

 

 

Решение (7-45) представляет в действительности

не

что

иное, как

разложение функции

Hmz = f(x,

у,

z)

в двойной ряд Фурье. Отдельные члены (7-43) этой сум­ мы представляют собой пространственные гармоники распределения поля в плоскости Оху, а также их зату­ хание и изменение фазы по мере проникновения в глубь

374

металла вдоль оси z. Как видно, гармоники высшего по­ рядка затухают быстрее гармоник низшего порядка. Это значит, что по мере проникновения в металл форма кри­ вой поля все больше приближается к первой гармонике пространственного распределения поля. На поверхности со стороны металла при 2 = 0 имеем:

 

 

СО ОО

 

 

Нтг (х, у, 0) =

^

Стп

sin т ~ х sin 11 ~ у,

(7-46)

причем

т = 1 п = \

 

 

 

 

 

 

Hmz

(х,

у,0)=-%-

Нтго(х*у).

(7-47)

Следовательно, (7-46) представляет в соответствую­ щем масштабе разложение в двойной ряд Фурье задан­

ной функции распределения поля HmzQ(x,

у) на

поверх­

ности металла со стороны воздуха.

 

 

Сравнение (7-45) и (7-47) указывает

путь

точного

математического решения. Однако интегрирование функ­ ции Hmz0(x, у) с целью нахождения постоянных Стп разложения (7-46) и (7-45) может часто представлять значительную трудность. Поэтому на практике можно воспользоваться следующими упрощениями.

В инженерных расчетах обычно достаточно учитывать только несколько первых гармоник пространственного

распределения

поля — с 1 до mi и

с 1 до п\.

В

таком

случае,

например,

для

средних

значений

7'/2 = L = 20 см

« m! =

rti=3 имеем:

 

 

 

 

 

 

 

v=(m 1 n/L) 2 +(rti2n/7 , ) 2 =0,4 - 10 4

1/м2.

 

 

Для

стали

с

физическими

параметрами

(хг =500-н

1 000 и у = 7 • 106 См/м при частоте 50 Гц

получим:

 

 

о>ц.у= (140н-280) • 104

1/м2.

 

 

 

Следовательно,

нет

сомнения

в

том, что при

учете

гармоник не слишком высокого порядка (mt<c:5 и

п^Ъ)

и при размерах объекта, больших нескольких

сантимет­

ров, можно принять:

 

 

 

 

 

 

атп

= K v + W Y =

(1 /2) [V

» { * T ) 2 +

v2 +

v

+

+ J VVM2

+

v 2 — v j «

(1 +

/) К<^Т72 =

«.

Благодаря этому допущению экспоненциальный мно­ житель е " m n можно вынести за знаки суммы и полу-

375

чить па основании

(7-45) — (7-47)

формулу

напряженно­

сти магнитного поля в металле

 

 

 

 

 

 

Hmz

(x,y,z)~^

Hmzo

(х,

у) е"аг.

 

(7-48)

Д в у х м е р н о е

п о л е .

Многие

инженерные

задачи

можно

решить на

основе

теории

 

двухмерного поля

(рис. 7-11,а).

Из

уравнений Максвелла

для // ж = 0 и

ЕУ=Е2—0,

учитывая

(7-48), имеем

 

 

 

 

 

Ётх =

/ш[х j

Hmz (у, z)dy + C (z) =

-

j^0e-a%;

(7-49)

 

Н

_J

дЕтг

(j.„

 

a Z

p

 

 

 

П т у — ~ 1 ^ ~ д г ~ —

j T a e

 

Г У —

 

 

= - (i + / > о V 4 r

руе~™

 

<7"50)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fv=-^Hm!Ca(y,0)dy

 

+ C9.

 

(7-51)

Постоянную С0 следует определить из граничных условий для заданного распределения поля на поверх­ ности.

В (7-50) множитель \jYv- исключаем, вводя аппрок­ симацию пересчитанной кривой намагничивания (7-9):

[

Д = 1 4 ^ у / 2 ;

 

А = 0,13м7В.с],

благодаря

чему

можно

написать

для (7-50):

 

 

Нту

= 2f-

(Д + Л2

Vv^Hmy) =

 

 

 

 

FT

 

 

 

 

=

 

У

^ MA

+A#tV^Fve-K).

t(7-50a)

Потери

активной и реактивной мощности, отнесенные

к единице

поверхности

тела,

равны вектору

Пойнтинга

(3-7) на поверхности

(z=Q):

 

 

 

 

S - ± Е * Н

- П - / ) ^ ^ Х

376

Потери активной и реактивной мощностей в зоне од­ ного пространственного периода Т (рис. 7-1 \,а) на еди­ ницу длины исследуемого элемента вдоль оси х состав­ ляют:

Г / 2

К =

— ГJ/ 2

 

z=0

 

 

p

 

 

4

 

l

i

 

(7-53)

где

S

 

dy

= (a

-

 

ja

)mY^(a

+a

Y^i),

 

 

 

 

 

 

 

 

2 К 2

 

J ^ У ;

(7-53a)

 

 

 

 

 

 

 

 

-Т/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.3

 

Т12

 

 

 

 

 

 

 

 

а,

=

 

I

 

Г f 3 ^ .

(7-536)

 

 

 

 

 

2

 

 

2 K 2

 

—f/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты

а р ~ 1 , 4

и

а 9 ~ 0 , 8 5 введены

с целью

учета

нелинейной

проницаемости

и гистерезиса

согласно

§ 7-2 для массивной стальной среды. В случае неферро­

магнитного металла av =

aq=\.

 

Коэффициенты

« 1 и аг

можно легко рассчитать анали­

тически в случае

простого

распределения поля

Hmz0(y,0)

ка поверхности.

 

 

 

При более сложном распределении поля интегриро­

вание аналитическими методами получается

слишком

трудным для того,

чтобы (7-53) могли иметь практиче­

ское значение; графическое

интегрирование, проведенное

в [Л. 2-19 и 1-28],

является

слишком трудоемким и не

очень точным^ Применение электронных вычислительных машин позволяет, однако, быстро и с большой точностью рассчитать коэффициенты ai и а%.

2. Общие формулы

при синусоидальном

распределении

поля на поверхности

стали (Л. 7-21]

 

Положим, что распределение нормальной составляющей напряженности магнитного поля на поверхности метал­ лического полупространства (рис. 7-12) выражается формулой

Hmz0(y> 0) = # m Z o s i n - ^ - y . Согласно уравнению

F y = ~~ j H m z a ^' ° ^ d y ~ ^ С ° = ~~H m z a j S ' n d y ~г"

377

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/126843

Смотрите также:

ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика