Материал: Теория_вероятностей_9_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Поставим перед собой задачу оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа . Если достаточно мало, то мы оценим, таким образом,

вероятность того, что X примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию.

31

Теория вероятностей и математическая статистика

П. Л. Чебышев доказал неравенство, позволяющее дать интересующую нас оценку.

32

Теория вероятностей и математическая статистика

Неравенство Чебышёва. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше, чем 1—D(Х)/ 2:

Р(|Х — М(Х)| < ) 1— D(Х)/ 2.

33

Теория вероятностей и математическая статистика

Замечание. Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку.

Однако теоретическое значение неравенства Чебышева весьма велико.

Как уже отмечалось ранее, доказательства

предельных теорем основываются на неравенстве Чебышёва.

34

Теория вероятностей и математическая статистика

8.2. Теорема Чебышёва

Чебышёв Пафнутий Львович (1821—1894). Русский математик и механик, основоположник петербургской математической школы. В теории вероятностей доказал центральную предельную теорему, предложил простое и общее доказательство закона больших чисел (1867). От Чебышёва и его учеников ведут свое начало важнейшие направления русской и советской математики.

35