Материал: Теория_вероятностей_9_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

8.2. Теорема Чебышёва

36

Теория вероятностей и математическая статистика

8.2. Теорема Чебышёва

Теорема Чебышёва. Если Х1, Х2, ...., Хn, ...— попарно

независимые случайные величины, дисперсии которых равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

37

Теория вероятностей и математическая статистика

Другими словами, в условиях теоремы

Теорема Чебышева утверждает:

Если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что

отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

38

Теория вероятностей и математическая статистика

Выше, формулируя теорему Чебышева, мы

предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания.

На практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание.

Очевидно, что если вновь допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

39

Теория вероятностей и математическая статистика

Рассмотрим частный случай теоремы Чебышёва,

когда случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание и дисперсии этих величин ограничены.

40