Материал: Теория_вероятностей_9_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Проверим, выполняется ли требование конечности математических ожиданий:

M(Xn) = -n (1/2n2) + 0(1 – 1/n2) + n (1/2n2) = 0.

Таким образом, каждая конечная величина имеет конечное (равное нулю) математическое ожидание, то есть второе требование теоремы Чебышёва

выполняется.

61

Теория вероятностей и математическая статистика

Проверим, выполняется ли требование равномерной

Или, сложив вероятности одинаковых возможных значений,

62

Теория вероятностей и математическая статистика

Найдем математическое ожидание (2):

(2) = n2 2 1/n2 = 2.

Найдем дисперсию D(Xn):

Таким образом, дисперии данных случайных величин равномерно ограничены числом 2 , то есть третье

требование теоремы Чебышёва выполняется.

63

Теория вероятностей и математическая статистика

Итак, поскольку все требования выполняются, к

рассмотренной последовательности случайных величин теорема Чебышёва применима.

64

Теория вероятностей и математическая статистика

8.3. Теорема Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р.

Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события?

Положительный ответ на этот вопрос дает теорема,

доказанная Якобом Бернулли, получившая название «закона больших чисел» и положившая начало теории вероятностей как науке.

65