Материал: Теория_вероятностей_9_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Кроме моментов случайной величины X целесообразно рассматривать моменты отклонения X — М(Х).

Центральным* моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины (Х - M(Х))k :

k = M[(Х - M(Х))k ] .

В частности,

1 = M[Х - M(Х)], (**)

2 = M[(Х - M(Х))2 ] (***)

*Центральный (отсчет идет от M(Х), являющегося центром, около которого рассеяны возможные значения случайной величины).

6

Теория вероятностей и математическая статистика

Легко получить соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Например,

сравнивая (*) и (***), получим

2 = 2 - 12 .

Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулы:

Моменты более высоких порядков применяются редко.

7

Теория вероятностей и математическая статистика

Замечание. Моменты, рассмотренные выше,

называют теоретическими.

В отличие от теоретических моментов,

моменты, которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими.

8

Теория вероятностей и математическая статистика

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

9

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 1. Найти математическое ожидание дискретной

Решение. Используем определение математического ожидания. Математическое ожидание М(Х) равно

сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности.

Шаг 1. Найдем вероятность р3 возможного значения 10.

р3 = 1 – (0,2+0,3) = 0,5.

Шаг 2. Вычислим М(Х), используя определение.

М(Х) = -4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 = 6

10