Материал: Теория_вероятностей_9_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 2. Найти математическое ожидание случайной величины Z = X + 2Y, если известны математические ожидания X и Y. M(X) = 5, M(Y) = 3.

Решение. Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания), получим :

М(Z) = M(X + 2Y) = M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 3

= 11.

11

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 3. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: х1 = -1, х2 = 0, х3 = 1, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х) = 0,1; М(Х2) = 0,9. Найти вероятности р1, р2, р3, соответствующие возможным значениям х1, х2, х3.

Решение. Пользуясь тем, что сумма вероятностей всех возможных значений Х равна единице, а также принимая во внимание, что М(Х) = 0,1, М(Х2) = 0,9 составим систему трех линейных уравнений относительно неизвестных вероятностей:

М(Х)М(Х2)

Решая эту систему, найдем: р1 = 0,4; р2 = 0,1; р3 = 0,5.

12

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 4. Устройство состоит из n элементов. Вероятность отказа любого элемента за время опыта равна р. Найти математическое ожидание числа таких опытов, в каждом из которых откажет ровно m элементов, если всего произведено N опытов.

Решение. Обозначим через Х число опытов, в которых откажет ровно m элементов. Так как опыты независимы

и вероятности интересующего нас события (в

одном опыте откажет ровно m элементов) в этих опытах одинаковы, то применима формула

М(Х) = N(P), (*)

где N – общее число опытов; P – вероятность того, что в одном опыте откажет ровно m элементов.

13

Теория вероятностей и математическая статистика

Найдем вероятность Р по формуле Бернулли:

14

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 5. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3X + 2Y, если известно, что D(X) = 5, D(Y) = 6.

Решение. Так как величины X и Y независимы, то независимы также и величины 3X и 2Y. Используя свойства дисперсии (дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возводя его в квадрат), получим

D(Z) = D(3X+2Y) = D(3X) + D(2Y) = 9D(X) + 4D(Y) = 9 5 + 4 6 = 69.

15