Материал: Теория_вероятностей_9_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 6. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,2.

Решение. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события:

D(X) = npq.

По условию, n = 5; p = 0,2. Определим q. q = 1-0,2 = 0,8.

Искомая дисперсия

D(X) = npq = 5 0,2 0,8 = 0,8.

16

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 7. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(Х) = 1,2.

Решение 1. Возможные значения величины Х таковы:

х1 = 0 (событие не появилось), х2 = 1 (событие появилось 1 раз), х3 = 2 (событие появилось 2 раза).

Шаг 1. Найдем вероятности возможных значений по

формуле Бернулли ( = −):

17

Теория вероятностей и математическая статистика

Шаг 2. Напишем закон распределения Х:

Шаг 3. Найдем М(Х):

M(X) = 2pq + 2p2 = 2p(q+p) = 2p.

Шаг 4. По условию М(Х) = 1,2. То есть 2p = 1,2. Откуда

P=0,6 и, следовательно, q = 1- 0,6 = 0,4.

Шаг 5. Найдем искомую дисперсию по формуле

D(X) = npq = 2 0,6 0,4 = 0,48.

18

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 7. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(Х) = 1,2.

Решение 2.

Шаг 1. Воспользуемся формулой M(X) = np. По условию М(Х) = 1,2; n = 2. Следовательно, 1,2 = 2p. Откуда р = 0,6 и, значит, q = 0,4.

Шаг 2. Найдем искомую дисперсию:

D(X) = npq = 2 0,6 0,4 = 0,48.

19

Теория вероятностей и математическая статистика

8. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

8.1. Предварительные замечания

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно.

Казалось бы, поскольку о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить

закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин.

20